Hüperelastsus¶

Selles peatükis käsitletakse FrontISTR-i toetatud hüperelastseid konstitutiivvõrrandeid. Mudeli valiku ja sisendspetsifikatsioonide üksikasju vt funktsioonide jaotisest 03_material.

Nähtus (pöörduv suure deformatsiooni vastus)¶

Täiendamisel (järgmises etapis arendatakse täielikuks tekstiks).

Konstitutiivne raamistik¶

Isotroopse hüperelastse materjali elastne potentsiaalenergia saadakse algsest pingevabast olekust isotroopse vastusena ning seda saab esitada parempoolse Cauchy-Greeni deformatsioonitensori \(C\) põhiinvariantide \((I_1, I_2, I_3)\) või ruumalamuutusest puhastatud deformatsioonitensori põhiinvariantide \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) funktsioonina, st kujul \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) või \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Hüperelastse materjali konstitutiivvõrrand määratakse teise Piola-Kirchhoffi pinge ja Green-Lagrange'i deformatsiooni seosega ning deformatsioonianalüüsis rakendatakse täieliku Lagrange'i meetodit.

Kui elastne potentsiaalenergia \(W\) on teada, saab teise Piola-Kirchhoffi pinge ja pinge-deformatsiooni seose arvutada järgmiselt.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Allpool on toodud FrontISTR-is kasutatavate hüperelastsete mudelite elastsed potentsiaalenergiad \(W\).

Neo-Hooke'i hüperelastne mudel¶

Neo-Hooke'i hüperelastne mudel laiendab isotroopset lineaarseadust (Hooke'i seadust), et seda saaks rakendada suure deformatsiooni probleemidele. Selle elastne potentsiaal on järgmine.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Siin on \(C_{10}\) ja \(D\) materjalikonstandid.

Mooney-Rivlini hüperelastne mudel¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Siin on \(C_{10}\), \(C_{01}\) ja \(D\) materjalikonstandid.

Anisotroopne Mooney-Rivlini hüperelastne mudel¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Siin on \(C_{10}\), \(C_{01}\) ja \(D\) isotroopse mudeliga ühised materjalikonstandid ning \(C_{42}\) ja \(C_{43}\) anisotroopiale omased materjalikonstandid.

Arruda-Boyce'i hüperelastne mudel¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Siin on \(\mu_0\), \(\lambda_m\) ja \(D\) materjalikonstandid.

Seotud teemad¶

Lineaarne elastsus — Elastne vastus väikese deformatsiooni korral
Elastoplastsus — Pöördumatut deformatsiooni sisaldavad konstitutiivvõrrandid
Materjaliandmed (funktsioonid) — Mudelivalikud ja valikupõhimõtted