Lineaarne elastsus¶

Selles peatükis käsitletakse lineaarsete elastsete materjalide konstitutiivvõrrandit (Hooke'i seadust). Mudeli valiku ja sisendspetsifikatsioonide üksikasju vt funktsioonide jaotisest 03_material.

Nähtus (lineaarne elastne vastus)¶

Lineaarne elastne keha on materjal, mis piisavalt väikese koormusdeformatsiooni vahemikus näitab pinge ja deformatsiooni lineaarset seost ning pöörduvat, ajaloost sõltumatut vastust, mille puhul kogu deformatsioon koormuse eemaldamisel kaob. Erinevalt plastilisusest või roomest pole sellel olekut kirjeldavaid sisemuutujaid (näiteks plastne või viskoosne deformatsioon) ning pinge määratakse üheselt ainult hetke deformatsiooniga.

Väikese deformatsiooni vahemikus kasutatakse Cauchy pinget \(\boldsymbol{\sigma}\) ja infinitesimaalset deformatsiooni \(\boldsymbol{\varepsilon}\); lõpliku deformatsiooni vahemikus (probleemid, mis sisaldavad suuri pöördeid, kuid mille deformatsioon ise on väike) kasutatakse teist Piola-Kirchhoffi pinget \(\boldsymbol{S}\) ja Green-Lagrange'i deformatsiooni \(\boldsymbol{E}\) (St. Venant-Kirchhoffi materjal).

Konstitutiivvõrrand¶

Isotroopne lineaarne elastne materjal¶

Väikese deformatsiooni vahemikus väljendatakse isotroopne Hooke'i seadus Lamé konstantide \(\lambda, \mu\) abil kujul

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Komponentkujul

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ning topeltkontraktsioon deformatsiooniga annab \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé konstandid on seotud Youngi mooduli \(E\) ja Poissoni teguriga \(\nu\) järgmiselt:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigti tähistuses kirjutatakse deformatsioonivektori \(\hat{\varepsilon}\) ja pingevektori \(\hat{\sigma}\) seos kujul \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ning kolmemõõtmeline materjalimaatriks \(D\) on

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Seda maatriksesitust kasutatakse implementatsioonis.

Ortotroopne lineaarne elastne materjal¶

Materjalide jaoks, mille elastsuskonstandid erinevad peatelgede suundades, kasutatakse üheksa sõltumatu konstandiga ortotroopset mudelit: Youngi moodulid peatelgede suundades \(E_1, E_2, E_3\), Poissoni tegurid peatelgede vahel \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) ning nihkemoodulid \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Maatriksi \(D\) eksplitsiitset kuju vt standardsetest viidetest.

Lõpliku deformatsiooni vahemik: St. Venant-Kirchhoffi materjal¶

Probleemides, mis sisaldavad suuri pöördeid, kuid mille deformatsioon ise on väike, kasutatakse St. Venant-Kirchhoffi materjali lineaarse elastse seadusena, mis seob teise Piola-Kirchhoffi pinge \(\boldsymbol{S}\) ja Green-Lagrange'i deformatsiooni \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé konstantide \(\lambda, \mu\) definitsioonid on samad nagu väikese deformatsiooni korral. Pange siiski tähele, et kuna pinge-deformatsiooni paari definitsioonid erinevad, on see väikese deformatsiooni Hooke'i seadusest erinev konstitutiivvõrrand.

Hüpoelastne materjal¶

Uuendatud Lagrange'i meetodis kasutatakse hüpoelastset materjali, mis rakendab lineaarset elastset seadust suhtelise Kirchhoffi pingetensori Jaumanni kiiruse \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ja deformatsioonikiiruse tensori \(\boldsymbol{D}\) vahel:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Ka siin on \(\boldsymbol{C}\) definitsioon Lamé konstantide kaudu sama nagu eespool, kuid kuna pinge-deformatsiooni paar erineb, on tegemist erineva konstitutiivvõrrandiga. Üksikasju selle kohta, kuidas \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ajaintegreerimise (edasi-Euleri integratsioon ja keskdiferentsi lähendus) kaudu uuendatakse, vt tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Taandamine kahemõõtmelise analüüsi ja kestelementide jaoks¶

Tasapinge (\(\sigma_{33} = 0\))¶

Õhukeste plaatide ja kestade koormust kirjeldava tasapinge korral eeldatakse \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ning kasutatakse maatriksit \(\varepsilon_{33}\), millest tasapinnaväline deformatsioonikomponent \(D\) on algebraliselt elimineeritud:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Tasadeformatsioon (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

Paksuse suunas piiratud pika konstruktsiooni ristlõiget kirjeldava tasadeformatsiooni korral eeldatakse \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Telgsümmeetriline¶

Telgsümmeetrilises analüüsis, mis käsitleb silindrilistes koordinaatides \((r, \theta, z)\) \(\theta\) suunas ühtlaseid probleeme, säilitatakse neli komponenti \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ja \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ning saadakse

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

Kestelemendid (tasapinge + ristnihke)¶

Kestelementide korral käsitletakse tasapinnalist pinget tasapingena ning ristnihke deformatsioonikomponentide \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) jaoks kasutatakse \(\kappa\), kus \(\kappa = 5/6\) on nihkekorrektsioonitegur (üldjuhul \(\kappa\, G\)). Iga elemendi detailset formulatsiooni vt Täiustatud elemendiformulatsioonid. Funktsioonide jaotise 03_material väide, et „kestelemendid toetavad ainult lineaarset elastsust”, põhineb sellel tasapinnalise oleku tasapingena käsitlemise lihtsustusel.

Temperatuurisõltuvus¶

Youngi moodul \(E\), Poissoni tegur \(\nu\) ja lineaarne paisumistegur \(\alpha\) määratakse üldjuhul temperatuuri \(T\) funktsioonidena. FrontISTR-is sisestatakse väärtused lõpliku temperatuuripunktide jada \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) jaoks ning arvutuse ajal hinnatakse temperatuuri \(T\) väärtust naaberpunktide vahel lineaarse interpolatsiooniga. Vahemikust väljas olevate temperatuuride korral (\(T < T_1\) või \(T > T_n\)) kasutatakse ekstrapoleerimiseks lähima otspunkti \(T_1\) või \(T_n\) väärtust (konstantne ekstrapolatsioon).

Soojus- ja soojusjuhtivusomaduste (tihedus, erisoojus ja soojusjuhtivus) temperatuurisõltuvust vt Soojusomadused. Interpolatsioonireeglid on nende omaduste puhul samad.

Seotud teemad¶

Tensoritähistus ja matemaatilised alused — Voigti tähistuse konventsioonid ja materjalimaatriksi \(D\) roll
Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt — Deformatsioonigradiendi ja deformatsioonitensori üldkäsitlus
Hüperelastsus — Laiendus pöörduvale vastusele, mis sisaldab suuri deformatsioone
Elastoplastsus — Hüpoelastsed ja plastsed mudelid, mis sisaldavad plastset deformatsiooni
Soojusomadused — Soojusjuhtivuses ja termopinge sidumises kasutatavad omadused
Materjaliandmed (funktsioonid) — Mudelivalikud ja valik