Keri sisuni

Lineaarne elastne staatiline analüüs (sissejuhatus)

Selles jaotises esitatakse infinitesimaalse deformatsiooni teoorial põhineva elastse staatilise analüüsi formulatsioon. Pinge-deformatsiooni seose puhul eeldatakse lineaarset elastsust. See peatükk on mõeldud sissejuhatusena lõplike elementide konstruktsioonianalüüsi üldstruktuuri mõistmiseks ja moodustab iseseisva terviku.

Virtuaaltöö printsiibi üldteooriat (hetkekonfiguratsiooni kuju, algkonfiguratsiooni kuju ja taandamine infinitesimaalsele deformatsioonile) vt Virtuaaltöö printsiip; lineaarse elastse konstitutiivseaduse üksikasju vt Lineaarne elastsus; tensori- ja Voigti tähistuse kokkuleppeid vt Tensoritähistus ja matemaatilised alused; lõpliku deformatsiooni üldformulatsiooni vt Liikumine, deformatsioon ja deformatsioonimõõt; mittelineaarsete probleemide lahendusmeetodeid vt Puutujäikusmaatriks.

Põhivõrrandid

Infinitesimaalse deformatsiooni ja lineaarse elastsuse eeldustel koosneb tahkemehaanika rajaväärtusprobleem tasakaaluvõrrandist, mehaanilistest rajatingimustest ja geomeetrilistest rajatingimustest (essentsiaalsed rajatingimused) (vt joonis 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Siin on \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy pinge, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) mahujõud ruumalaühiku kohta, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) etteantud pinnajõud, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) etteantud siire ning \(S_t, S_u\) vastavalt mehaaniline ja geomeetriline piir.

Tahkemehaanika rajaväärtusprobleem (infinitesimaalse deformatsiooni probleem)

Joonis 2.1.1 Tahkemehaanika rajaväärtusprobleem (infinitesimaalse deformatsiooni probleem)

Kasutades sümmeetrilist gradientoperaatorit, on deformatsiooni-siirde seos

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Lineaarse elastsuse konstitutiivvõrrand on

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

kus \(\boldsymbol{C}\) on neljandat järku elastsustensor.

Virtuaaltöö printsiip

Virtuaaltöö printsiibi üldkujud (hetkekonfiguratsiooni kuju, algkonfiguratsiooni kuju ja taandamine infinitesimaalsele deformatsioonile) on kokku võetud peatükis Virtuaaltöö printsiip. Infinitesimaalse deformatsiooni ja lineaarse elastsuse eeldustel on nõrk kuju

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Asendades konstitutiivvõrrandi \eqref{eq:2.1.5} ja kirjutades Voigti tähistuses \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), saadakse otse diskretiseerimiseks kasutatav kuju:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

kus \(D\) on peatükis Lineaarne elastsus defineeritud elastsusmaatriks. Võrrandid \eqref{eq:2.1.10} ja \eqref{eq:2.1.7} moodustavad allpool diskretiseeritava virtuaaltöö printsiibi.

Diskretiseerimine ja globaalvõrrandi koostamine

Võrrandi\( \eqref{eq:2.1.10} \) virtuaaltöö printsiibi diskretiseerimine lõplike elementide üle annab

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Iga elemendi siirdeväli interpoleeritakse elementi moodustavate sõlmede siirete abil järgmiselt.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Deformatsioon saadakse seejärel võrrandi\(\eqref{eq:2.1.4}\) abil järgmiselt.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Asendades võrrandid\(\eqref{eq:2.1.12}\) ja \(\eqref{eq:2.1.13}\) võrrandisse\(\eqref{eq:2.1.11}\), saame

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Võrrandi \(\eqref{eq:2.1.14}\) võib kirjutada kujul

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Siin saab võrranditega\(\eqref{eq:2.1.16}\) ja \(\eqref{eq:2.1.17}\) defineeritud maatriksi ja vektori komponendid arvutada iga lõpliku elemendi jaoks ning koostada superpositsiooni teel.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Kuna võrrand\(\eqref{eq:2.1.15}\) kehtib suvalise virtuaalse siirde \(\delta \boldsymbol{U}\) jaoks, saadakse järgmine võrrand.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Samal ajal väljendatakse võrrandi\(\eqref{eq:2.1.3}\) siirde rajatingimus järgmiselt.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Lahendades võrrandi\(\eqref{eq:2.1.18}\) võrrandi\(\eqref{eq:2.1.19}\) piirangutingimuse all, saab määrata sõlmesiirde \(\boldsymbol{U}\).

Vaata ka

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status