Mittelineaarne iteratsioon ja ajaintegreerimine¶

FrontISTR viib lahendust edasi, kombineerides iga sammu inkremendijuhtimise alamastmes mittelineaarseid iteratsioone ja ajaintegreerimist. Sellel lehel kirjeldatakse välise sammujuhtimise ja sisemise lineaarlahendaja vahel paiknevaid iteratsioonistruktuure: Newtoni-Raphsoni iteratsioone, kontaktiteratsioone, dünaamilise analüüsi ajaintegreerimist ning mittestatsionaarse soojusjuhtivuse ajaedastuse ja mittelineaarse iteratsiooni raamistikku.

Ülevaade¶

Sammu sees moodustavad mittelineaarne lahendamine ja ajaintegreerimine väljast sisse mitu pesastatud tsüklit. Igal kihil on järgmine roll.

Nende kihtide esinemine sõltub analüüsi tüübist.

Kontakti tüübi ja algoritmi valiku kohta vt Kontakt ja sisestamine. Siin kirjeldatakse, kuidas valitud algoritm on korraldatud iteratsioonitsüklina.

Lahendusskeemi valimine¶

Iteratsioonistruktuur määratakse automaatselt valitud analüüsi tüübi (Analüüsi tüübid), mittelineaarsuse olemasolu või puudumise (geomeetriline mittelineaarsus, materjali mittelineaarsus või kontakt) ja kontaktalgoritmi (SLAGRANGE või ALAGRANGE) järgi. Kasutaja seadistab otseselt iteratsioonide arvu ülempiire ja koonduvuskriteeriume.

Nende sätete häälestamisel lähtuge järgmistest põhimõtetest.

• Tavaliste analüüside korral on iteratsioonide arvu vaikimisi ülempiir üldiselt piisav. Kui raskesti koonduv ülesanne jõuab maksimaalse iteratsioonide arvuni ilma koondumiseta, kasutage esmalt cutback (Sammujuhtimine); suurendage ülempiiri ainult siis, kui see koonduvust ei paranda.
• Seadistage koonduvuskriteeriumid nii, et analüüsi stabiilsus ja arvutusaeg oleksid tasakaalus. Rangemad kriteeriumid parandavad tasakaalu täpsust, kuid suurendavad iteratsioonide arvu. Kontaktanalüüsis ja Lagrange’i kordajaid kasutavates analüüsides võib siirdeinkremendi või Lagrange’i kriteeriumi ühendamine jäägikriteeriumiga stabiilsust parandada.
• Dünaamilise analüüsi ajaintegreerimise parameetrite (Newmark-β kordajate) puhul alustage standardsest väärtuste kombinatsioonist ja muutke neid, kui soovite muuta vibratsioonivastuse numbrilise sumbumise omadusi.
• Mittestatsionaarse soojusjuhtivuse ajaintegreerimisel kasutage Crank-Nicolsoni meetodit sujuvate temperatuurimuutustega ülesannetes ning tagasisuunalist Euleri meetodit siis, kui olulisemad on järsud muutused või pikaajaline stabiilsus.

Newtoni-Raphsoni iteratsioon staatilises analüüsis¶

Mittelineaarses staatilises analüüsis lahendatakse geomeetrilist või materjali mittelineaarsust sisaldavad tasakaaluvõrrandid iteratiivselt Newtoni-Raphsoni meetodiga. Iga iteratsioon toimub järgmiselt.

1. Hinnake jäägivektorit \(\boldsymbol{R}\) praeguse lahendi juures.
2. Koostage puutujäikusmaatriks \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Lahendage lineaarsüsteem \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\), et saada siirdeparandus \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Uuendage lahendit kujul \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Võrrelge koonduvuskriteeriumidega. Kui koonduvus on saavutatud, lõpetage iteratsioon; vastasel juhul naaske punkti 1.

Lineaarsüsteemi lahenduse (punkt 3) arvutab lineaarlahendaja. Lahendaja ja eelkonditsioneerija valiku kohta vt Lahendaja ja eelkonditsioneerimine.

Iteratsiooni juhitakse !STEP sammujuhtimise parameetritega. Peamised juhtväärtused on järgmised.

Sammujuhtimise automaatse inkremendi ja cutback otsustes kasutatav Newtoni iteratsioonide maksimaalne arv tähendab siin kirjeldatud Newtoni iteratsioonide arvu. Automaatne inkremendijuhtimine suurendab ajainkrementi pärast väheste iteratsioonidega koondunud alamastet ja vähendab seda pärast paljusid iteratsioone nõudnud alamastet.

Kontaktiteratsioon staatilises analüüsis¶

Kontaktanalüüsis muutub kontaktiolek iteratsiooni ajal kontaktpindade kontakti, eraldumise ja libisemise tõttu, mistõttu Newtoni iteratsioon ühendatakse kontaktioleku uuendamisega. Struktuur sõltub kontaktlahenduse algoritmist.

Mõlemad algoritmid paigutavad kontaktioleku otsingutsükli kõige välimisele tasemele. Igal läbimisel hinnatakse pärast sisemise Newtoni iteratsiooni koondumist kontaktiolekut (kontakt/eraldumine) uuesti. Kui olek on muutunud, uuendatakse jäikusmaatriksi struktuuri ja sisemine iteratsioon käivitatakse uuesti. Tsükkel lõpeb, kui kontaktiolek ei ole eelmise läbimisega võrreldes muutunud ja kontakti koonduvuskriteeriumid (kontaktjõu ja Lagrange’i kordaja kriteeriumid) on täidetud. Läbimiste arvu ülempiir määratakse !STEP parameetriga MAXCONTITER.

SLAGRANGE kontakti korral lisatakse kontakti vabadusastmed lineaarsüsteemi standardse Lagrange’i kordaja meetodiga. Tulemuseks on kahekihiline struktuur, kus Newtoni iteratsioon paikneb vahetult kontaktioleku otsingutsükli sees. Laiendatud Lagrange’i iteratsiooni ei kasutata.

ALAGRANGE kontakti korral lisatakse kontaktioleku otsingutsükli sisse laiendatud Lagrange’i iteratsioon ja selle sisse Newtoni iteratsioon, moodustades kolmekihilise struktuuri. Igas laiendatud Lagrange’i iteratsioonis hinnatakse kontaktipiirangut uuesti trahviliikme ja Lagrange’i kordaja kombinatsiooniga, parandades järk-järgult piirangu täpsust. Laiendatud Lagrange’i iteratsioonide arvu ülempiir määratakse !CONTACT_ALGO parameetriga AUGITER.

Kontaktiteratsiooni juhtväärtused on järgmised.

Sammujuhtimise automaatse inkremendi otsustes kasutatav kontaktiteratsioonide arv tähendab siin kirjeldatud iteratsioonide arvu koos kontaktioleku uuendustega. Analüüsid, kus kontakt ja eraldumine toimuvad sageli, nõuavad tavaliselt rohkem kontaktiteratsioone ning see mõjutab ka automaatse inkremendi ja cutback otsuseid. Kontakti tüüpide, paaride definitsioonide ja algoritmi valiku kohta vt Kontakt ja sisestamine. Kontakti vabadusastmeid sisaldava lineaarsüsteemi lahendamise kohta vt Lahendaja ja eelkonditsioneerimine.

Ajaintegreerimine dünaamilises analüüsis (implitsiitne meetod)¶

Dünaamilise analüüsi implitsiitne meetod kasutab Newmark-β meetodit, et siduda igal ajasammul järgmise aja siire, kiirus ja kiirendus, ning ühendab need seosed liikumisvõrrandiga, et leida olek ajal \(t + \Delta t\). Ajasammu \(\Delta t\) stabiilsuspiirang on leebe, mistõttu saab madalsageduslike komponentide domineeritud konstruktsioonivastuseid tõhusalt lahendada.

Kasutatakse järgmisi kahte ajaintegreerimise parameetrit.

Kombinatsiooni \(\beta = 1/4\) ja \(\gamma = 1/2\) nimetatakse keskmise kiirenduse meetodiks; see on standardvalik, mis on tingimusteta stabiilne ega sisalda numbrilist sumbumist. Numbrilise sumbumise lisamiseks valige \(\gamma\) suurem kui \(1/2\). Parameetrikombinatsioonide, stabiilsuse ja veaomaduste matemaatiliste üksikasjade kohta vt teooriamanuaali.

Kui analüüs sisaldab mittelineaarsust (geomeetriline mittelineaarsus, materjali mittelineaarsus või kontakt), tehakse igas ajasammus Newtoni iteratsioon; iteratsiooni sees lahendatakse lineaarsüsteem ja uuendatakse olekut. Koonduvuskriteeriumid kasutavad staatilise analüüsiga ühiseid väärtusi CONVERG ja seotud parameetreid. Kontaktiga dünaamilises analüüsis lisatakse igasse ajasammu sama iteratsioonistruktuur nagu staatilise analüüsi kontaktiteratsioonis.

Dünaamilise analüüsi ajasammu juhivad peamiselt !STEP ajatingimused. Fikseeritud inkrementide korral määrab !STEP ajasammu DTIME ja sammu kestuse ETIME. !DYNAMIC väärtusi n_step ja t_delta käsitletakse vaikimisi väärtustena, kui !STEP puudub, ning tagasiühilduvuse jaoks. Mittelineaarses implitsiitses meetodis võimaldab !STEP koos INC_TYPE=AUTO automaatseid inkremente ja cutback, suurendades või vähendades ajasammu Newtoni ja kontaktiteratsioonide oleku järgi. Olenemata sellest, kas kasutatakse fikseeritud või automaatseid inkremente, valige ajasamm nii koonduvust kui ka nõutavat täpsust arvestades.

Ajaintegreerimine dünaamilises analüüsis (eksplitsiitne meetod)¶

Dünaamilise analüüsi eksplitsiitne meetod kasutab keskdiferentsmeetodit, et arvutada järgmise aja olek otse ainult eelmise aja siirde-, kiirus- ja kiirendusandmetest. Kuna võrrandisüsteemi ei lahendata, on ühe sammu arvutuskulu väike. Isegi mittelineaarsuse korral on iga ajasamm üheastmeline uuendus ilma Newtoni iteratsioonita.

Ajasammu ülempiiri määrab süsteemi minimaalsel omavõnkeperioodil põhinev stabiilsustingimus (CFL-tingimus). Seda piiri ületav ajasamm põhjustab numbrilise lahendi hajumise, mistõttu ei saa kasutada nii suuri ajasamme nagu implitsiitse meetodi korral. Eksplitsiitne meetod sobib hästi löögi, lainelevi ja kiire kontakti laadsetele nähtustele, kus väikesed ajasammud on niigi vajalikud.

Kontakti korral rakendatakse kontaktipiiranguid Forward Increment Lagrange’i meetodiga. Kontaktjõude hinnatakse viisil, mis on kooskõlas eksplitsiitse meetodi üheastmelise uuendusega.

Sagedusvastuse analüüsi lahendusmeetod¶

Sagedusvastuse analüüs leiab modaalse superpositsiooni meetodiga perioodilise statsionaarse vastuse otse sagedusdomeenis. Vastust hinnatakse ergutussagedust muutes ning ajalugu ei ole vaja iteratsioonidega ajas jälgida. Ei tehta mittelineaarseid iteratsioone ega ajaintegreerimist.

Enne sagedusvastuse analüüsi tuleb samale süsteemile teha modaalanalüüs ja eraldada vajalik arv omavõnkevorme. Toetatud on ainult lineaarsed mudelid; geomeetrilise või materjali mittelineaarsuse korral analüüsi teha ei saa. Selle analüüsitüübi käsitluse kohta vt Analüüsi tüübid.

Aja edasiviimine ja mittelineaarne iteratsioon mittestatsionaarses soojusjuhtivuses¶

Mittestatsionaarsel soojusjuhtivusel on oma ajatsükkel, mida juhitakse täielikult !HEAT kaudu. Ajasammu juhitakse konstruktsioonianalüüsi !STEP-ist ja !AUTOINC_PARAM-ist eraldi ning temperatuurist sõltuvate materjaliomaduste korral tehakse igas ajasammus mittelineaarne iteratsioon.

Ajaintegreerimise skeem valitakse !HEAT parameetriga \(\beta\).

Ajasammu juhitakse adaptiivselt, kombineerides algset ajasammu, minimaalset ajasammu ja maksimaalset temperatuurimuutust sammu kohta. Kui temperatuurimuutus ületab pärast ajasammu arvutust DELTMX, vähendatakse ajasammu ja samm arvutatakse uuesti. Kui ajasamm langeb alla minimaalse ajasammu DTMIN, analüüs katkestatakse.

Kui materjali omadused sõltuvad temperatuurist, tehakse igas ajasammus mittelineaarne iteratsioon. Iteratsiooni juhitakse järgmiselt.

Statsionaarne soojusjuhtivus ei kasuta ajasamme; mittelineaarset iteratsiooni tehakse ainult siis, kui materjali omadused sõltuvad temperatuurist. Kuna soojusjuhtivusanalüüsi ajajuhtimine on konstruktsioonianalüüsi !STEP-ist sõltumatu, kontrollige ajasammu seadistamisel !HEAT sätteid.

Seotud teemad¶

• Analüüsi tüübid — Iga analüüsitüübi roll.
• Kontakt ja sisestamine — Kontakti tüüpide, paaride definitsioonide ja lahendusalgoritmide valik.
• Lahendaja ja eelkonditsioneerimine — Newtoni iteratsiooni sees kutsutava lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine.
• Sammujuhtimine — Väline sammu-/alamastmejuhtimine ning automaatsed inkremendid/cutback.
• Newtoni-Raphsoni meetod (teooria) — Iteratiivse lahendusmeetodi formulatsioon.
• Koonduvuskriteeriumid (teooria) — Koonduvusnäitajate matemaatilised definitsioonid.
• Dünaamilise analüüsi meetodid (teooria) — Newmark-β ja keskdiferentsmeetodi formulatsioon.
• Mittestatsionaarne soojusjuhtivusanalüüs (teooria) — Soojusjuhtivuse ajaintegreerimise formulatsioon.
• Kontaktanalüüs (teooria) — Lagrange’i kordaja meetodi formulatsioon.
• Märksõnaviide: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.