Επαλήθευση με μοντέλο απλής γεωμετρίας¶

Ελαστική στατική ανάλυση¶

Για την επαλήθευση χρησιμοποιείται πρόβολος διακριτοποιημένος με πλέγμα όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.1.1. Πραγματοποιήθηκαν αναλύσεις για επτά περιπτώσεις, exA έως exG, μεταβάλλοντας τις συνθήκες φόρτισης όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.1.2. Η περίπτωση exG έχει τις ίδιες συνθήκες φόρτισης με την exA, αλλά χρησιμοποιεί άμεσο επιλυτή.

Τα αποτελέσματα επαλήθευσης για κάθε συνθήκη φόρτισης παρουσιάζονται στους Πίνακες 9.1.1–9.1.7.

Σχήμα 9.1.1 Παράδειγμα πλέγματος προβόλου (εξαεδρικά στοιχεία)

	(a) exA, G: Συγκεντρωμένο φορτίο
	(b) exD: Βαρύτητα
	(c) exB: Κατανεμημένο επιφανειακό φορτίο
	(d) exE: Φυγόκεντρη δύναμη
	(e) exC: Ογκομετρικό φορτίο
	(f) exF : Θερμικό φορτίο

Μη γραμμική στατική ανάλυση¶

(2-1) exnl1: Γεωμετρικά μη γραμμική ανάλυση¶

Το μοντέλο επαλήθευσης για την περίπτωση exI είναι ίδιο με τα μοντέλα των περιπτώσεων exA έως exG. Στο Σχήμα 9.1.3 παρουσιάζεται σχηματική απεικόνιση του μοντέλου επαλήθευσης. Σε αυτό το μοντέλο πραγματοποιείται γεωμετρικά μη γραμμική ανάλυση. Τα αποτελέσματα επαλήθευσης παρουσιάζονται στον Πίνακα 9.1.8.

Ο μη γραμμικός υπολογισμός χρησιμοποιεί 10 βήματα φόρτισης, με προσαύξηση φορτίου 0.1P έως το τελικό φορτίο 1.0P.

Σχήμα 9.1.3 Μοντέλο επαλήθευσης

(2-2) exnl2: Ανάλυση ελαστοπλαστικής παραμόρφωσης¶

Το παρόν πρόβλημα επαλήθευσης βασίζεται στο Test NL1 της NAFEMS από τον National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), και εκτελεί ανάλυση ελαστοπλαστικής παραμόρφωσης που περιλαμβάνει γεωμετρική μη γραμμικότητα και πολλαπλούς νόμους σκλήρυνσης. Το μοντέλο ανάλυσης παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.1.4.

Σχήμα 9.1.4 Μοντέλο ανάλυσης ελαστοπλαστικής παραμόρφωσης

(1) Συνθήκες επαλήθευσης

(2) Οριακές συνθήκες

Όλοι οι κόμβοι που δεν αναφέρονται εδώ είναι πλήρως δεσμευμένοι. Η θεωρητική λύση για αυτό το πρόβλημα είναι η ακόλουθη.

Για σύγκριση, τα αποτελέσματα υπολογισμού είναι τα ακόλουθα.

Ανάλυση επαφής (1)¶

Το παρόν πρόβλημα επαλήθευσης βασίζεται στο πρόβλημα δοκιμής επαφής CGS-4 του National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), και ελέγχει τη δυνατότητα επαφής πεπερασμένης ολίσθησης με τριβή. Το μοντέλο ανάλυσης παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.1.5.

Σχήμα 9.1.5 Μοντέλο ανάλυσης επαφής

Η συνθήκη ισορροπίας για αυτό το πρόβλημα είναι η ακόλουθη.

Στο στάδιο πρόσφυσης, η δύναμη τριβής είναι [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] και στο στάδιο ολίσθησης είναι [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Η σύγκριση μεταξύ των αποτελεσμάτων υπολογισμού και της αναλυτικής λύσης είναι η ακόλουθη.

Ανάλυση επαφής (2): Πρόβλημα επαφής Hertz¶

Η επαλήθευση αυτή αναλύει το πρόβλημα επαφής Hertz μεταξύ ενός απείρως μακρού κυλίνδρου και ενός άπειρου επιπέδου. Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι R=8mm και το μέτρο Young E και ο λόγος Poisson µ του παραμορφώσιμου σώματος είναι 1100Mpa και 0.0, αντίστοιχα. Η περιοχή επαφής θεωρείται αρκετά μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα του κυλίνδρου και, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία του προβλήματος, αναλύεται μοντέλο ενός τετάρτου του κυλίνδρου.

Σχήμα 9.1.6 Μοντέλο ανάλυσης για το πρόβλημα επαφής Hertz

(1) Αποτελέσματα επαλήθευσης της ακτίνας επαφής¶

Ο θεωρητικός τύπος για τον υπολογισμό της ακτίνας επαφής είναι ο ακόλουθος:

όπου [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Υπό τις παρούσες συνθήκες υπολογισμού, όταν η πίεση είναι \(F=100\), η ακτίνα επαφής είναι \(a=1.36\).

Στο Σχήμα 9.1.7 παρουσιάζονται οι ισοδύναμες κομβικές δυνάμεις στα σημεία επαφής. Η ακτίνα επαφής προκύπτει με προέκταση αυτής της κατανομής κομβικών δυνάμεων.

Σχήμα 9.1.7 Κατανομή ισοδύναμων κομβικών δυνάμεων στα σημεία επαφής

(2) Αποτελέσματα επαλήθευσης της μέγιστης διατμητικής τάσης¶

Στη θεωρητική λύση, στη θέση επαφής [ z = 0.78a ] η μέγιστη διατμητική τάση είναι [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Υπό τις παρούσες συνθήκες υπολογισμού, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . Για σύγκριση, ο υπολογισμός δίνει [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Σχήμα 9.1.8 Κατανομή διατμητικής τάσης (μέγιστη τιμή = 15.6)

(3) Ιδιομορφική ανάλυση¶

Τα μοντέλα επαλήθευσης για τις περιπτώσεις exJ και exK είναι ίδια με τα μοντέλα των περιπτώσεων exA έως exG. Στο Σχήμα 9.1.9 παρουσιάζεται σχηματική απεικόνιση του μοντέλου επαλήθευσης. Σε αυτό το μοντέλο πραγματοποιείται ιδιομορφική ανάλυση. Υπολογίζονται οι ιδιοτιμές πρώτης έως τρίτης τάξης. Η περίπτωση exJ χρησιμοποιεί επαναληπτικό επιλυτή, ενώ η περίπτωση exK χρησιμοποιεί άμεσο επιλυτή. Τα αποτελέσματα επαλήθευσης παρουσιάζονται στους Πίνακες 9.1.9 έως 9.1.12.

Σχήμα 9.1.9 Μοντέλο επαλήθευσης

Οι ιδιοσυχνότητες του προβόλου προκύπτουν από τις ακόλουθες εξισώσεις.

Πρώτη ιδιομορφή [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Δεύτερη ιδιομορφή [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Τρίτη ιδιομορφή [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Οι τιμές ιδιοτήτων του μοντέλου επαλήθευσης είναι

Επομένως, οι ιδιοτιμές έως την τρίτη ιδιομορφή είναι οι ακόλουθες:

Σημείωση: Στα τρισδιάστατα (3D) μοντέλα, η πρώτη και η δεύτερη τιμή έχουν ίσες ρίζες. Επομένως, η δεύτερη τιμή στον πίνακα αντιπροσωπεύει την τρίτη υπολογισμένη τιμή.

Σημείωση: Στα 3D μοντέλα, η πρώτη και η δεύτερη τιμή έχουν ίσες ρίζες. Επομένως, η δεύτερη τιμή στον πίνακα αντιπροσωπεύει την τρίτη υπολογισμένη τιμή.

(4) Ανάλυση αγωγής θερμότητας¶

Οι κοινές συνθήκες για τις αναλύσεις αγωγής θερμότητας σταθερής κατάστασης παρουσιάζονται στο Σχήμα 9.1.10. Οι επιμέρους συνθήκες για τις περιπτώσεις επαλήθευσης exM έως exT παρουσιάζονται στο Σχήμα 9.1.11. Η διαίρεση του πλέγματος είναι ισοδύναμη με αυτή που χρησιμοποιείται για την exA.

Τα αποτελέσματα επαλήθευσης (πίνακες κατανομής θερμοκρασίας) κάθε περίπτωσης παρουσιάζονται στους Πίνακες 9.1.13–9.1.20.

Εξάρτηση της θερμικής αγωγιμότητας από τη θερμοκρασία

exM: Γραμμικό υλικό
exN: Πρόβλημα καθορισμένης θερμοκρασίας
exO: Πρόβλημα συγκεντρωμένης θερμικής ροής
exP: Πρόβλημα κατανεμημένης θερμικής ροής
exQ: Πρόβλημα μεταφοράς θερμότητας με συναγωγή
exR: Πρόβλημα μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία
exS: Πρόβλημα ογκομετρικής παραγωγής θερμότητας
exT: Πρόβλημα εσωτερικού διακένου

(5) Γραμμική δυναμική ανάλυση¶

Στην exW πραγματοποιείται γραμμική δυναμική ανάλυση στον ίδιο πρόβολο με εκείνον του στοιχείου (1). Οι συνθήκες επαλήθευσης παρουσιάζονται στο Σχήμα 9.1.12. Για την ίδια διαίρεση πλέγματος επαληθεύεται η επίδραση της χρονικής προσαύξησης στα αποτελέσματα. Χρησιμοποιούνται τόσο άρρητες όσο και ρητές μέθοδοι χρονικής ολοκλήρωσης, με τύπους στοιχείων 361 και 342. Τα αποτελέσματα επαλήθευσης παρουσιάζονται στον Πίνακα 9.1.22 και στα Σχήματα 9.1.13 έως 9.1.15.

Η θεωρητική λύση για τη μετατόπιση του σημείου ταλάντωσης είναι η ακόλουθη:

όπου

Συνθήκες επαλήθευσης:

Ανάλυση απόκρισης συχνότητας¶

Στην παρούσα επαλήθευση πραγματοποιείται ανάλυση απόκρισης συχνότητας σε πρόβολο και επικυρώνεται με σύγκριση προς αποτελέσματα γενικού σκοπού εμπορικού επιλυτή. Το μοντέλο ανάλυσης και οι συνθήκες επαλήθευσης παρουσιάζονται παρακάτω.

Συνθήκες ανάλυσης:

Οι ιδιοτιμές έως την πέμπτη τάξη και η απόκριση συχνότητας των σημείων ταλάντωσης που προκύπτουν από την ιδιομορφική ανάλυση είναι οι ακόλουθες: