Μετάβαση στο περιεχόμενο

Χειρισμός γεωμετρικών οριακών συνθηκών

Η μέθοδος Newton-Raphson επιλύει σε κάθε επανάληψη τη γραμμική εξίσωση \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), όμως οι γεωμετρικές οριακές συνθήκες (περιορισμοί μετατόπισης) δεν έχουν ακόμη ενσωματωθεί σε αυτήν. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο τρόπος τροποποίησης του μητρώου δυσκαμψίας \(\boldsymbol{K}\) και του διανύσματος υπολοίπου \(\boldsymbol{R}\) για τους βαθμούς ελευθερίας στους οποίους επιβάλλονται περιορισμοί μετατόπισης \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), ώστε η μετατόπιση μετά την επανάληψη να φθάνει στην προδιαγεγραμμένη τιμή. Οι πολυσημειακοί περιορισμοί (MPC) και οι μη γραμμικοί περιορισμοί που σχετίζονται με επαφή αντιμετωπίζονται χωριστά· βλ. Πολυσημειακοί περιορισμοί και Επαφή.

Διατήρηση των περιορισμών μετατόπισης ως αγνώστων μεταβλητών

Η μετατόπιση ενός κόμβου που υπόκειται σε γεωμετρική οριακή συνθήκη δεν αποτελεί πλέον άγνωστη μεταβλητή, αλλά είναι σταθερή στην προδιαγεγραμμένη τιμή \(\bar{u}_i\). Οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας θα μπορούσαν να θεωρηθούν σταθερές και να απαλειφθούν από τη γραμμική εξίσωση \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)· ωστόσο, το FrontISTR επιβάλλει τους περιορισμούς τροποποιώντας τα \(\boldsymbol{K}\) και \(\boldsymbol{R}\), ενώ διατηρεί τους περιορισμένους βαθμούς ελευθερίας στο διάνυσμα διόρθωσης \(d\boldsymbol{u}\) όπως και τους υπόλοιπους βαθμούς ελευθερίας.

Με αυτήν την προσέγγιση, οι διαστάσεις του μητρώου συντελεστών και η διάταξη των βαθμών ελευθερίας δεν αλλάζουν ανάλογα με την παρουσία περιορισμών, οπότε δεν απαιτείται απαλοιφή μεταβλητών και αναδιάταξη των γραμμών και στηλών που ελευθερώνονται. Επειδή μια τέτοια αναδιάταξη είναι δυσχερής σε υλοποίηση όπου το μητρώο συντελεστών αποθηκεύεται σε αραιή μορφή, το FrontISTR υιοθετεί τη δεύτερη προσέγγιση, στην οποία οι περιορισμοί επιβάλλονται αποκλειστικά μέσω ενημέρωσης του μητρώου συντελεστών και του δεξιού μέλους.

Τιμή-στόχος της διόρθωσης Newton-Raphson

Για έναν βαθμό ελευθερίας \(i\) με περιορισμό μετατόπισης, ορίζεται η διόρθωση \(du_i\) που λαμβάνεται στην επανάληψη Newton-Raphson ως

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1η επανάληψη}) \\ 0 & (\text{2η και επόμενες επαναλήψεις}) \end{cases} \]

και τροποποιούνται τα \(\boldsymbol{K}\) και \(\boldsymbol{R}\) έτσι ώστε η διόρθωση να λάβει αυτήν την τιμή. Έτσι, στην πρώτη επανάληψη η αύξηση της μετατόπισης φθάνει στην προδιαγεγραμμένη τιμή \(\bar{u}_i\), ενώ από τη δεύτερη επανάληψη και μετά η διόρθωση γίνεται \(0\) και η προδιαγεγραμμένη τιμή διατηρείται.

Διαδικασία τροποποίησης μητρώου και διανύσματος υπολοίπου

Η τιμή-στόχος της προηγούμενης ενότητας επιτυγχάνεται με τις ακόλουθες δύο τροποποιήσεις, διατηρώντας τη μορφή της γραμμικής εξίσωσης \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Διαγωνιοποίηση της γραμμής \(i\): Αντικαθίσταται ο διαγώνιος όρος \(K_{ii}\), δηλαδή ο συντελεστής του \(du_i\), με \(1\), όλοι οι άλλοι συντελεστές \(K_{ij}\ (j \not= i)\) με \(0\), και το δεξί μέλος τίθεται \(R_i \to d\bar{u}_i\). Τότε η εξίσωση της γραμμής \(i\) γίνεται \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Μεταφορά από τις γραμμές \(j(\not= i)\): Για κάθε γραμμή \(j(\not= i)\), εάν \(K_{ji} \not= 0\), ο όρος \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) μεταφέρεται στο δεξί μέλος. Δηλαδή, αφαιρείται \(K_{ji} d\bar{u}_i\) από το δεξί μέλος και ο συντελεστής \(K_{ji}\) του \(du_i\) τίθεται ίσος με \(0\).

Σε μορφή συνιστωσών, οι εξισώσεις πριν και μετά την τροποποίηση αντιστοιχούν ως εξής.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Έστω ότι το τροποποιημένο μητρώο συντελεστών και το τροποποιημένο δεξί μέλος συμβολίζονται με \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), αντίστοιχα. Η γραμμική εξίσωση που επιλύεται τελικά είναι

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Εάν υπάρχουν πολλοί περιορισμένοι βαθμοί ελευθερίας, οι τροποποιήσεις 1 και 2 εφαρμόζονται διαδοχικά σε κάθε περιορισμένο βαθμό ελευθερίας \(i\).

Εύρος επεξεργασίας στην υλοποίηση αραιού μητρώου

Στην υλοποίηση, το μητρώο συντελεστών \(\boldsymbol{K}\) αποθηκεύεται σε αραιή μορφή. Επομένως, η επεξεργασία των γραμμών \(j(\not= i)\) στη διαδικασία 2 της προηγούμενης ενότητας εκτελείται μόνο για γραμμές που έχουν μη μηδενικά στοιχεία στη στήλη \(i\), δηλαδή για βαθμούς ελευθερίας κόμβων που συνδέονται μέσω στοιχείων με τον περιορισμένο βαθμό ελευθερίας \(i\). Για μη συνδεδεμένους βαθμούς ελευθερίας ισχύει \(K_{ji} = 0\), οπότε η μεταφορά του όρου δεν αλλάζει το δεξί μέλος. Αυτός ο περιορισμός επιτρέπει η επεξεργασία των περιορισμών να ολοκληρώνεται μόνο με τοπικές πράξεις ως προς τον συνολικό αριθμό κόμβων.

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status