Μετάβαση στο περιεχόμενο

Μη μόνιμη ανάλυση αγωγής θερμότητας

Η ενότητα αυτή παρουσιάζει τη χρονική διακριτοποίηση και την επαναληπτική μέθοδο επίλυσης για την ανάλυση αγωγής θερμότητας στερεών με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method). Για τις εξισώσεις που διέπουν το συνεχές μέσο και τις οριακές συνθήκες, βλ. Εξίσωση αγωγής θερμότητας.

Διακριτοποιημένη εξίσωση (σημείο εκκίνησης)

Η διακριτοποίηση της εξίσωσης αγωγής θερμότητας (εξίσωση αγωγής θερμότητας (gov_he_main)) με τη μέθοδο Galerkin δίνει

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

όπου

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Εδώ, τα \(K\), \(M\), \(F\) και \(N\) είναι αντίστοιχα το μητρώο αγωγής θερμότητας (συμπεριλαμβανομένων των συνεισφορών των οριακών συνθηκών συναγωγής και ακτινοβολίας), το μητρώο μάζας, το διάνυσμα θερμικού φορτίου και το μητρώο συναρτήσεων σχήματος. Οι ορισμοί των συμβόλων ιδιοτήτων υλικού (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) κ.λπ.) ακολουθούν την Εξίσωση αγωγής θερμότητας.

Χρονική διακριτοποίηση και επαναληπτική επίλυση

Η εξίσωση \(\eqref{eq:2.4.8}\) είναι μη γραμμική, μη μόνιμη εξίσωση. Με χρήση της προς τα πίσω μεθόδου Euler για τη χρονική διακριτοποίηση, όταν είναι γνωστή η θερμοκρασία τη χρονική στιγμή \(t=t_0\), η θερμοκρασία στη χρονική στιγμή \(t=t_0+\Delta t\) υπολογίζεται από την ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Θεωρούμε τη βελτίωση του διανύσματος θερμοκρασίας \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), το οποίο ικανοποιεί προσεγγιστικά την εξίσωση \(\eqref{eq:2.4.13}\), ώστε να ληφθεί η ακριβέστερη λύση \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Για τον σκοπό αυτό, πρώτα εκφράζεται το διάνυσμα θερμοκρασίας ως εξής.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Το γινόμενο του μητρώου αγωγής θερμότητας με το διάνυσμα θερμοκρασίας, το μητρώο μάζας και οι σχετικοί όροι προσεγγίζονται ως εξής.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) και \(\eqref{eq:2.4.16}\) στην εξίσωση \(\eqref{eq:2.4.13}\) και παραλείποντας όρους δεύτερης και ανώτερης τάξης, προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Το μητρώο συντελεστών στο αριστερό μέλος προσεγγίζεται περαιτέρω με την ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Εδώ, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) είναι το εφαπτομενικό μητρώο δυσκαμψίας.

Τελικά, η θερμοκρασία στη χρονική στιγμή \(t=t_0+\Delta t\) μπορεί να υπολογιστεί με επαναληπτικούς υπολογισμούς χρησιμοποιώντας την ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Ειδικά για μόνιμη ανάλυση, οι επαναληπτικοί υπολογισμοί εκτελούνται με την ακόλουθη εξίσωση.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Στη μη μόνιμη ανάλυση, επειδή χρησιμοποιείται έμμεση μέθοδος για τη χρονική διακριτοποίηση, η επιλογή του χρονικού βήματος \(\Delta t\) γενικά δεν υπόκειται σε περιορισμό ως προς το μέγεθός του. Ωστόσο, εάν το χρονικό βήμα \(\Delta t\) είναι υπερβολικά μεγάλο, αυξάνεται ο αριθμός επαναλήψεων που απαιτούνται για σύγκλιση. Γενικά, ένα υπερβολικά μεγάλο χρονικό βήμα \(\Delta t\) αυξάνει τον αριθμό επαναλήψεων. Στην υλοποίηση, ο αυτόματος έλεγχος βήματος παρακολουθεί το μέγεθος του διανύσματος υπολοίπου, μειώνοντας το \(\Delta t\) όταν η σύγκλιση είναι αργή και αυξάνοντας το \(\Delta t\) όταν ο αριθμός επαναλήψεων είναι μικρός (→ για λεπτομέρειες βλ. Έλεγχος βήματος).

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status