Ανάλυση απόκρισης συχνότητας¶

Διατύπωση προβλήματος¶

Η ανάλυση απόκρισης συχνότητας αξιολογεί το πλάτος και τη φάση της απόκρισης μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος στο πεδίο της συχνότητας όταν η εξωτερική δύναμη μεταβάλλεται αρμονικά με τον χρόνο. Επειδή η εξίσωση κίνησης αντιμετωπίζεται διαφορετικά με και χωρίς απόσβεση, αυτό το κεφάλαιο εξάγει πρώτα τις ιδιομορφές από την ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση και στη συνέχεια τις χρησιμοποιεί ως ιδιομορφική βάση για την ανάπτυξη της αρμονικής απόκρισης με απόσβεση.

Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση και ιδιομορφές¶

Όταν η απόσβεση παραμελείται, η εξίσωση κίνησης είναι

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Η ανάπτυξη της μετατόπισης σε κάθε ιδιομορφή δίνει

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Η αντικατάσταση αυτού στην Εξ.\(\eqref{eq:2.6.1}\) δίνει

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Πρόκειται για γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών. Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσής του, συμπεριλαμβανομένης της μετατοπισμένης αντίστροφης επανάληψης και της μεθόδου Lanczos, καλύπτονται στην Ανάλυση ιδιομορφών. Η παρούσα ενότητα συνοψίζει τις ιδιότητες των φυσικών συχνοτήτων και των ιδιομορφών που προκύπτουν και χρησιμοποιούνται στην επόμενη ανάπτυξη της αρμονικής απόκρισης.

Πραγματικός χαρακτήρας των φυσικών συχνοτήτων¶

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η φυσική συχνότητα είναι πραγματική ως εξής. Θέτουμε \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Λαμβάνοντας το μιγαδικό συζυγές της Εξ.\(\eqref{eq:2.6.3}\) προκύπτει η Εξ.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Ο πολλαπλασιασμός με \(\overline{U}_J^T\) δίνει

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Από την Εξ.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Επειδή ο πίνακας μάζας είναι συμμετρικός θετικά ορισμένος, για μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα ισχύει

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Επομένως,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Άρα, το \(\omega_j^2 = \lambda_j\) είναι πραγματικό.

Ορθογωνιότητα και κανονικοποίηση ιδιομορφών¶

Θεωρούμε δύο διαφορετικές ιδιομορφές.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Προκύπτει ότι

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

και, όταν οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Άρα, διαφορετικές ιδιομορφές είναι ορθογώνιες ως προς τον πίνακα μάζας. Για την ίδια ιδιομορφή, η κανονικοποίηση ως προς τον πίνακα μάζας όπως στην Εξ.\(\eqref{eq:2.6.12}\) απλοποιεί την επόμενη επεξεργασία.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Αρμονική απόκριση με απόσβεση¶

Στη συνέχεια παρουσιάζεται η διατύπωση της ανάλυσης απόκρισης συχνότητας με απόσβεση. Η εξίσωση κίνησης δίνεται από την Εξ.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Ο όρος απόσβεσης θεωρείται τύπου Rayleigh και εκφράζεται από την Εξ.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Χρησιμοποιώντας τα ιδιοδιανύσματα που προκύπτουν από την ανάλυση ιδιομορφών, το διάνυσμα μετατόπισης τη χρονική στιγμή t μπορεί να αναπτυχθεί όπως στην Εξ.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Έστω ότι ο όρος της εξωτερικής δύναμης έχει την αρμονική μορφή

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Στη συνέχεια προσδιορίζουμε το \(b_{j}(t)\). Επειδή η εξίσωση κίνησης στην Εξ.\(\eqref{eq:2.6.13}\) έχει τη μορφή εξαναγκασμένης ταλάντωσης,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

ισχύει. Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του συντελεστή ανάπτυξης \(b_{j}(t)\) δίνονται από τις Εξ.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) και \(\eqref{eq:2.6.19}\), αντίστοιχα.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Έτσι προκύπτουν οι ζητούμενοι συντελεστές αρμονικής απόκρισης.

Σχετικά θέματα¶

Ανάλυση ιδιομορφών — Διατύπωση του υποκείμενου προβλήματος ιδιοτιμών
Μέθοδοι δυναμικής ανάλυσης — Δυναμική ανάλυση στο πεδίο του χρόνου
Τύποι ανάλυσης — Λειτουργική επισκόπηση της ανάλυσης απόκρισης συχνότητας