Ιδιομορφική ανάλυση¶

Γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών¶

Για την ανάλυση ελεύθερων ταλαντώσεων ενός συνεχούς μέσου, η περιοχή διακριτοποιείται χωρικά και μοντελοποιείται ως σύστημα συγκεντρωμένων μαζών πολλών βαθμών ελευθερίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.1. Για πρόβλημα ελεύθερης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση, η εξίσωση που διέπει το πρόβλημα (εξίσωση κίνησης) είναι η ακόλουθη.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Εδώ, $u$ είναι το διάνυσμα γενικευμένων μετατοπίσεων, $M$ το μητρώο μάζας και $K$ το μητρώο δυσκαμψίας. Έστω $\omega$ η φυσική κυκλική συχνότητα, $a$, $b$ και $c$ αυθαίρετες σταθερές, και $x$ ένα διάνυσμα. Ορίζεται η συνάρτηση

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Η δεύτερη παράγωγος αυτής της έκφρασης είναι

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση $\eqref{eq:2.3.1}$, προκύπτει

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Δηλαδή, προκύπτει

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Επομένως, αν βρεθούν ο συντελεστής $\lambda = \omega^2$ και το διάνυσμα $x$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.5}$, η συνάρτηση $u(t)$ αποτελεί λύση της εξίσωσης $\eqref{eq:2.3.1}$.

Ο συντελεστής $\lambda$ ονομάζεται ιδιοτιμή και το διάνυσμα $x$ ιδιοδιάνυσμα. Το πρόβλημα προσδιορισμού τους από την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.1}$ ονομάζεται γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών.

Παράδειγμα συστήματος πολλών βαθμών ελευθερίας σε ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Σχήμα 2.3.1 Παράδειγμα συστήματος πολλών βαθμών ελευθερίας σε ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ιδιότητες και παραδοχές μητρώων¶

Για το γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών $K x = \lambda M x$ που προέκυψε στην προηγούμενη ενότητα, το παρόν εγχειρίδιο υποθέτει τις ακόλουθες ιδιότητες των μητρώων. Οι παραδοχές αυτές αποτελούν τη βάση για τη σύγκλιση και το πεδίο εφαρμογής της μετατοπισμένης αντίστροφης επανάληψης και της μεθόδου Lanczos που περιγράφονται παρακάτω. Για ένα μιγαδικό μητρώο, το ανάστροφο είναι το συζυγές ανάστροφο, ενώ ένα πραγματικό μητρώο είναι συμμετρικό. Συγκεκριμένα, για το μητρώο $K$, εάν η συνιστώσα $ij$ είναι $k_{ij}$ και το μιγαδικό συζυγές του $k$ συμβολίζεται με $\bar{k}$, τότε

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

ισχύει η παραπάνω σχέση.

Στο παρόν εγχειρίδιο, τα μητρώα θεωρούνται συμμετρικά και θετικά ορισμένα. Θετικά ορισμένο σημαίνει ότι όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές· ισοδύναμα, το μητρώο ικανοποιεί πάντοτε την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.7}$ παρακάτω.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Μετατοπισμένη αντίστροφη επανάληψη¶

Στη δομική ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων, στην πράξη γενικά δεν απαιτούνται όλες οι ιδιοτιμές· σε πολλές περιπτώσεις επαρκούν λίγες ιδιοτιμές χαμηλής τάξης. Το HEC-MW προορίζεται για προβλήματα μεγάλης κλίμακας, όπου τα μητρώα είναι μεγάλα και πολύ αραιά (περιέχουν πολλά μηδενικά στοιχεία). Επομένως, είναι σημαντικό να υπολογίζονται αποδοτικά οι ιδιοτιμές των ιδιομορφών χαμηλής τάξης, αξιοποιώντας αυτή την ιδιότητα.

Έστω $\sigma$ το κάτω όριο των ιδιοτιμών. Τότε η εξίσωση $\eqref{eq:2.3.5}$ μπορεί να μετασχηματιστεί στην ακόλουθη μαθηματικά ισοδύναμη μορφή.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Αυτός ο μετασχηματισμός έχει τις ακόλουθες χρήσιμες ιδιότητες για τον υπολογισμό.

Η σειρά των ιδιομορφών αντιστρέφεται.
Οι ιδιοτιμές κοντά στο $\rho$ απεικονίζονται στις μεγαλύτερες τιμές.

Στον πραγματικό υπολογισμό, συχνά λαμβάνονται πρώτα οι μεγαλύτερες ιδιοτιμές. Επομένως, αντί για την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.5}$, ο κύριος υπολογισμός σύγκλισης εφαρμόζεται στην εξίσωση $\eqref{eq:2.3.8}$, με στόχο να ληφθούν πρώτα οι ιδιοτιμές κοντά στο $\rho$. Η τεχνική αυτή ονομάζεται μετατοπισμένη αντίστροφη επανάληψη.

Μέθοδος Lanczos¶

Λόγος χρήσης (σύγκριση με τη μέθοδο Jacobi)¶

Μεταξύ των κλασικών μεθόδων, η μέθοδος Jacobi είναι ευρέως γνωστή.

Η μέθοδος αυτή είναι αποτελεσματική όταν το μητρώο είναι μικρό και πυκνό. Ωστόσο, επειδή τα μητρώα που χειρίζεται το HEC-MW είναι μεγάλα και αραιά, η μέθοδος Jacobi δεν χρησιμοποιείται· αντί αυτής χρησιμοποιείται η επαναληπτική μέθοδος Lanczos.

Αλγόριθμος και χαρακτηριστικά¶

Η μέθοδος αυτή, που προτάθηκε από τον C. Lanczos τη δεκαετία του 1950, είναι αλγόριθμος αναγωγής ενός μητρώου σε τριδιαγώνια μορφή και έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά.

Είναι επαναληπτική συγκλίνουσα μέθοδος και μπορεί να εκτελείται διατηρώντας το μητρώο αραιό.
Ο αλγόριθμος αποτελείται κυρίως από γινόμενα μητρώου-διανύσματος και είναι ιδιαίτερα κατάλληλος για παραλληλοποίηση.
Είναι κατάλληλος για γεωμετρική διαμέριση περιοχής που συνδέεται με πλέγματα πεπερασμένων στοιχείων.
Είναι δυνατός ο αποδοτικός υπολογισμός περιορίζοντας τον αριθμό ιδιοτιμών και το εύρος των ιδιομορφών που ζητούνται.

Η μέθοδος Lanczos ξεκινά από ένα αρχικό διάνυσμα, δημιουργεί διαδοχικά ορθογώνια διανύσματα και κατασκευάζει βάση για έναν υποχώρο. Θεωρείται ταχύτερη από τη μέθοδο υποχώρου, μια άλλη επαναληπτική μέθοδο, και χρησιμοποιείται ευρέως σε προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων. Ωστόσο, η μέθοδος είναι ευαίσθητη σε αριθμητικά σφάλματα, τα οποία μπορούν να καταστρέψουν την ορθογωνιότητα των διανυσμάτων και να προκαλέσουν αστοχία του υπολογισμού. Επομένως, είναι απαραίτητα μέτρα αντιμετώπισης τέτοιων αριθμητικών σφαλμάτων.

Γεωμετρική ερμηνεία (υποχώρος Krylov)¶

Εισάγοντας την ακόλουθη αλλαγή μεταβλητών στην εξίσωση $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

το πρόβλημα ξαναγράφεται και προκύπτει

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Για ένα κατάλληλο διάνυσμα $q_0$, εφαρμόζεται ο γραμμικός μετασχηματισμός που αναπαρίσταται από το μητρώο $A$ (βλ. Σχήμα 2.3.2).

$Γραμμικός μετασχηματισμός του $q_0$ από το μητρώο $A$$

Σχήμα 2.3.2 Γραμμικός μετασχηματισμός του $q_0$ από το μητρώο $A$

Το μετασχηματισμένο διάνυσμα ορθογωνιοποιείται μέσα στον χώρο που παράγεται μαζί με το αρχικό διάνυσμα. Δηλαδή, εκτελείται ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.2. Έστω $r_1$ το διάνυσμα που προκύπτει. Κανονικοποιώντας το σε μοναδιαίο μήκος λαμβάνεται το $q_1$ (Σχήμα 2.3.3). Από το $q_1$, το $q_2$ λαμβάνεται με την ίδια διαδικασία. Σε αυτό το σημείο, το $q_2$ είναι ορθογώνιο τόσο προς το $q_1$ όσο και προς το $q_0$ (Σχήμα 2.3.4). Συνεχίζοντας τον ίδιο υπολογισμό προκύπτουν αμοιβαία ορθογώνια διανύσματα μέχρι την τάξη του μητρώου.

$Διάνυσμα ορθογώνιο προς το $q_0$: $q_1$$

Σχήμα 2.3.3 Διάνυσμα ορθογώνιο προς το $q_0$: $q_1$

$Διάνυσμα ορθογώνιο προς τα $q_1$ και $q_0$: $q_2$$

Σχήμα 2.3.4 Διάνυσμα ορθογώνιο προς τα $q_1$ και $q_0$: $q_2$

Ειδικότερα, ο αλγόριθμος Lanczos εφαρμόζει ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt στην ακολουθία διανυσμάτων $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

ή ισοδύναμα $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$.

Η ακολουθία αυτή ονομάζεται ακολουθία Krylov και ο χώρος που παράγει ονομάζεται υποχώρος Krylov. Όταν εκτελείται ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt σε αυτόν τον χώρο, κάθε νέο διάνυσμα μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τα δύο πιο πρόσφατα διανύσματα. Αυτό ονομάζεται αρχή Lanczos.

Τριδιαγωνιοποίηση¶

Στην παραπάνω επανάληψη, ο υπολογισμός για το (i+1)-οστό διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

όπου

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Σε μητρωική σημειογραφία, αυτό γίνεται

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

όπου

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Έτσι, οι ιδιοτιμές λαμβάνονται επιλύοντας το πρόβλημα ιδιοτιμών για το τριδιαγώνιο μητρώο που προκύπτει από την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.13}$.

Σχετικά θέματα¶

Ανάλυση απόκρισης συχνότητας — Απόκριση συχνότητας με χρήση αποτελεσμάτων ιδιομορφικής ανάλυσης
Τύποι ανάλυσης — Λειτουργική επισκόπηση της ιδιομορφικής ανάλυσης