Μετάβαση στο περιεχόμενο

Μέθοδοι δυναμικής ανάλυσης

Η ενότητα αυτή περιγράφει μεθόδους ανάλυσης δυναμικών προβλημάτων με άμεση χρονική ολοκλήρωση. Παρακάτω παρουσιάζονται οι διατυπώσεις της έμμεσης και της ρητής μεθόδου.

Διακριτοποίηση της εξίσωσης κίνησης (κοινό πλαίσιο)

Προς συμπλήρωση (θα ολοκληρωθεί στην επόμενη φάση).

Έμμεση μέθοδος (μέθοδος Newmark-β)

Για δυναμικά προβλήματα εφαρμόζεται μέθοδος άμεσης χρονικής ολοκλήρωσης για την επίλυση της εξίσωσης κίνησης που φαίνεται παρακάτω.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Εδώ, \(M\) είναι ο πίνακας μάζας, \(C\) ο πίνακας απόσβεσης, \(Q\) το διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων και \(F\) το διάνυσμα εξωτερικών δυνάμεων. Ο πίνακας μάζας θεωρείται ότι παραμένει σταθερός ανεξάρτητα από την παραμόρφωση, ακόμη και στη μη γραμμική ανάλυση.

Οι μεταβολές της μετατόπισης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης κατά το χρονικό βήμα \(\Delta t\) προσεγγίζονται με τη μέθοδο Newmark-\(\beta\), όπως φαίνεται στις Εξ. \(\eqref{eq:2.5.2}\) και \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Εδώ, \(\gamma\) και \(\beta\) είναι παράμετροι της μεθόδου Newmark-\(\beta\).

Όπως είναι γνωστό, οι ακόλουθες τιμές των \(\gamma\) και \(\beta\) αντιστοιχούν στη μέθοδο γραμμικής επιτάχυνσης και στον τραπεζοειδή κανόνα, αντίστοιχα.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (μέθοδος γραμμικής επιτάχυνσης)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (τραπεζοειδής κανόνας)

Η αντικατάσταση των Εξ. \(\eqref{eq:2.5.2}\) και \(\eqref{eq:2.5.3}\) στην Εξ. \(\eqref{eq:2.5.1}\) δίνει την ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Ειδικότερα, για γραμμικό πρόβλημα, \(K_L\) είναι ο γραμμικός πίνακας δυσκαμψίας και \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Η αντικατάσταση αυτής της σχέσης στην παραπάνω εξίσωση δίνει την ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Στις θέσεις όπου η επιτάχυνση επιβάλλεται ως γεωμετρική οριακή συνθήκη, η μετατόπιση προκύπτει από την Εξ. \(\eqref{eq:2.5.2}\) ως εξής.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Ομοίως, στις θέσεις όπου επιβάλλεται η ταχύτητα, η μετατόπιση προκύπτει από την Εξ. \(\eqref{eq:2.5.6}\) ως εξής.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Εδώ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) είναι η κομβική μετατόπιση στη χρονική στιγμή \(t+\Delta{t}\), και \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) είναι η κομβική ταχύτητα στη χρονική στιγμή \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) είναι η κομβική επιτάχυνση στη χρονική στιγμή \(t+\Delta{t}\), \(i\) είναι ο αριθμός βαθμού ελευθερίας του κόμβου και \(s\) είναι ο αριθμός κόμβου. Οι όροι μάζας και απόσβεσης αντιμετωπίζονται ως εξής.

Αντιμετώπιση του όρου μάζας

Καταρχήν, ο πίνακας μάζας αντιμετωπίζεται ως συγκεντρωμένος πίνακας μάζας.

Αντιμετώπιση του όρου απόσβεσης

Ο όρος απόσβεσης αντιμετωπίζεται ως απόσβεση Rayleigh που εκφράζεται από την Εξ. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Εδώ, \(R_m\) και \(R_k\) είναι οι παράμετροι απόσβεσης Rayleigh.

Οι τιμές \(R_m\) και \(R_k\) που καθορίζονται στην κάρτα !DYNAMIC εφαρμόζονται ομοιόμορφα σε ολόκληρο το μοντέλο. Για να αντιστοιχίσετε διαφορετικές τιμές \(R_m\) και \(R_k\) σε κάθε υλικό, μέσα στο μπλοκ !MATERIAL του υλικού καθορίστε την κάρτα !DAMPING. Για στοιχεία που ανήκουν σε υλικό για το οποίο έχει καθοριστεί !DAMPING, ο πίνακας απόσβεσης του στοιχείου υπολογίζεται ως \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) από τον πίνακα μάζας του στοιχείου \(M_i\) και τον εφαπτομενικό πίνακα δυσκαμψίας \(K_i\), και συναρμολογείται στον συνολικό πίνακα απόσβεσης. Η λειτουργία αυτή ισχύει μόνο για την έμμεση μέθοδο.

Ρητή μέθοδος (μέθοδος κεντρικών διαφορών)

Η ρητή μέθοδος βασίζεται στην εξίσωση κίνησης στη χρονική στιγμή t που φαίνεται παρακάτω.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Εκφράζοντας τις μετατοπίσεις στις χρονικές στιγμές \(t + \Delta t\) και \(t - \Delta t\) με αναπτύγματα Taylor γύρω από τη χρονική στιγμή \(t\) και διατηρώντας όρους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς \(\Delta t\), προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Λαμβάνοντας τη διαφορά και το άθροισμα των Εξ. \(\eqref{eq:2.5.3}\) και \(\eqref{eq:2.5.4}\), προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Η αντικατάσταση των Εξ. \(\eqref{eq:2.5.12}\) και \(\eqref{eq:2.5.13}\) στην Εξ. \(\eqref{eq:2.5.9}\) δίνει την ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Ειδικότερα, για γραμμικό πρόβλημα, \(Q(t) = K_L U(t)\), και η παραπάνω εξίσωση γίνεται

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Εάν ο πίνακας μάζας \(M\) ληφθεί ως συγκεντρωμένος πίνακας μάζας και ο πίνακας απόσβεσης ως αναλογικός πίνακας απόσβεσης \(C = R_m M\), η Εξ. \(\eqref{eq:2.5.15}\) δεν απαιτεί επίλυση συστήματος ταυτόχρονων εξισώσεων.

Επομένως, από την Εξ. \(\eqref{eq:2.5.15}\), το \(U(t+\Delta t)\) μπορεί να υπολογιστεί από την ακόλουθη εξίσωση.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status