Μετάβαση στο περιεχόμενο

Κατάλογος συμβόλων φυσικών μεγεθών

Η σελίδα αυτή παραθέτει τα σύμβολα των φυσικών μεγεθών που χρησιμοποιούνται στο θεωρητικό εγχειρίδιο του FrontISTR. Για τις συμβάσεις συμβολισμού (έντονη γραφή για διανύσματα και τανυστές, σύμβαση αθροίσεως Einstein και συμβολισμός Voigt), δείτε Τανυστικός συμβολισμός και μαθηματικά θεμέλια.

Διαμορφώσεις και συστήματα συντεταγμένων

Σύμβολο Περιγραφή
\(\boldsymbol{X}\) Διάνυσμα θέσης υλικού σημείου στη διαμόρφωση αναφοράς (αρχική) (υλικές συντεταγμένες)
\(\boldsymbol{x}\) Διάνυσμα θέσης υλικού σημείου στην τρέχουσα διαμόρφωση (χωρικές συντεταγμένες)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Απεικόνιση κίνησης: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Πεδίο που καταλαμβάνει το σώμα στη διαμόρφωση αναφοράς
\(\Omega\) Πεδίο που καταλαμβάνει το σώμα στην τρέχουσα διαμόρφωση
\(\Gamma_0\) Όριο του \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Όριο του \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Γεωμετρικό όριο (μετατόπισης): όριο στην τρέχουσα/διαμόρφωση αναφοράς στο οποίο επιβάλλεται \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Μηχανικό όριο: όριο στην τρέχουσα/διαμόρφωση αναφοράς στο οποίο επιβάλλεται \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ή \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σε επιφάνεια της τρέχουσας διαμόρφωσης
\(\boldsymbol{N}\) Εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα σε επιφάνεια της διαμόρφωσης αναφοράς
\(t\) Χρόνος

Σύμβαση: Τα φυσικά μεγέθη στη διαμόρφωση αναφοράς συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα ή δείκτη \(0\), ενώ τα μεγέθη στην τρέχουσα διαμόρφωση συμβολίζονται με πεζά γράμματα.

Χρόνος και προσαυξήσεις (αυξητική ανάλυση)

Σύμβολο Περιγραφή
\(\Delta t\) Χρονική προσαύξηση: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Φυσικό μέγεθος τη χρονική στιγμή \(t\) (αριστερός εκθέτης). Παράδειγμα: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) είναι η τάση Cauchy τη χρονική στιγμή \(t\)
\(^{t}\Omega\) Πεδίο της τρέχουσας διαμόρφωσης τη χρονική στιγμή \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Όριο της τρέχουσας διαμόρφωσης τη χρονική στιγμή \(t\)

Σύμβαση: Στην αυξητική ανάλυση, η κατάσταση έως τη χρονική στιγμή \(t\) θεωρείται γνωστή και η κατάσταση στη χρονική στιγμή \(t + \Delta t\) επιλύεται ως άγνωστη. Ο αριστερός εκθέτης παραλείπεται όταν δεν χρειάζεται να δηλωθεί ρητά ο χρόνος. Η διατύπωση που χρησιμοποιεί ως αναφορά τη διαμόρφωση αναφοράς \(\Omega_0\) ονομάζεται διατύπωση Total Lagrange, ενώ η διατύπωση που χρησιμοποιεί ως αναφορά την τρέχουσα διαμόρφωση \(^{t}\Omega\) στην αρχή της προσαύξησης ονομάζεται διατύπωση Updated Lagrange.

Μετατόπιση, ταχύτητα, επιτάχυνση και δύναμη όγκου

Σύμβολο Περιγραφή
\(\boldsymbol{u}\) Διάνυσμα μετατόπισης: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Μετατόπιση που επιβάλλεται στο γεωμετρικό όριο \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Εικονική μετατόπιση (συνάρτηση δοκιμής): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) στο \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Διάνυσμα ταχύτητας: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Διάνυσμα επιτάχυνσης: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Δύναμη όγκου (ανά μονάδα μάζας)
\(\boldsymbol{t}\) Διάνυσμα επιφανειακής φόρτισης (ανά μονάδα επιφάνειας): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Επιφανειακή φόρτιση που επιβάλλεται στο μηχανικό όριο \(\Gamma_t\) (δεδομένα Neumann)

Διαφορικοί τελεστές

Σύμβολο Περιγραφή
\(\dot{(\cdot)}\) Υλική χρονική παράγωγος (χρονική παράγωγος που ακολουθεί το ίδιο υλικό σημείο): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Κλίση στη διαμόρφωση αναφοράς (κλίση ως προς τις υλικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Κλίση στην τρέχουσα διαμόρφωση (κλίση ως προς τις χωρικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Συμμετρικός τελεστής κλίσης: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Σημείωση: Τα \(\nabla_X\) και \(\nabla_x\) συνδέονται μέσω \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Κλίση χωρίς δείκτη, \(\nabla\), χρησιμοποιείται όταν η διαμόρφωση είναι σαφής από τα συμφραζόμενα ή όταν η διάκριση παύει να έχει σημασία, όπως σε προβλήματα μικρών παραμορφώσεων.

Τανυστές παραμόρφωσης

Σύμβολο Περιγραφή
\(\boldsymbol{F}\) Τανυστής βαθμίδας παραμόρφωσης: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Λόγος όγκου: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Δεξιός τανυστής παραμόρφωσης Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Αριστερός τανυστής παραμόρφωσης Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Τανυστής βαθμίδας ταχύτητας: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης (συμμετρικό μέρος του \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Τανυστής περιστροφής (αντισυμμετρικό μέρος του \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Τανυστές παραμόρφωσης

Σύμβολο Περιγραφή
\(\boldsymbol{E}\) Τανυστής παραμόρφωσης Green-Lagrange (διαμόρφωση αναφοράς): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Τανυστής παραμόρφωσης Almansi (τρέχουσα διαμόρφωση): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Γραμμικό μέρος του τανυστή παραμόρφωσης Almansi (συμμετρική βαθμίδα μετατόπισης στην τρέχουσα διαμόρφωση): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Τανυστής απειροστών παραμορφώσεων (γραμμική προσέγγιση): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Σημείωση: Το \(\boldsymbol{E}\) χρησιμοποιείται κυρίως στη διατύπωση Total Lagrange, ενώ το \(\boldsymbol{D}\) χρησιμοποιείται κυρίως στη διατύπωση Updated Lagrange.

Τανυστές τάσεων

Σύμβολο Περιγραφή
\(\boldsymbol{\sigma}\) Τανυστής τάσεων Cauchy (πραγματική τάση, τρέχουσα διαμόρφωση): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Πρώτος τανυστής τάσεων Piola-Kirchhoff (ονομαστική τάση): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Δεύτερος τανυστής τάσεων Piola-Kirchhoff (διαμόρφωση αναφοράς, συμμετρικός): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Σχέσεις μετατροπής μεταξύ των τανυστών τάσεων:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Σύμβαση: Η διατύπωση Total Lagrange χρησιμοποιεί το ζεύγος \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), ενώ η διατύπωση Updated Lagrange χρησιμοποιεί το ζεύγος \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Πυκνότητα και μάζα

Σύμβολο Περιγραφή
\(\rho\) Πυκνότητα μάζας στην τρέχουσα διαμόρφωση
\(\rho_0\) Πυκνότητα μάζας στη διαμόρφωση αναφοράς

Διατήρηση μάζας: \(\rho_0 = J\rho\).

Σταθερές υλικού (γραμμική ελαστικότητα)

Σύμβολο Περιγραφή
\(E\) Μέτρο Young
\(\nu\) Λόγος Poisson
\(\lambda\) Πρώτη σταθερά Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Δεύτερη σταθερά Lamé (μέτρο διάτμησης): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Τανυστής ελαστικότητας (τέταρτης τάξης): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), συνιστώσες \(C_{ijkl}\)
\(D\) (ή \(\hat{\tilde{C}}\)) Πίνακας υλικού (συμβολισμός Voigt, \(6\times6\) σε 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Συνιστώσες του τανυστή ελαστικότητας για ισότροπο γραμμικό ελαστικό υλικό:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Υπερελαστικά υλικά

Σύμβολο Περιγραφή
\(W(\boldsymbol{C})\) Συνάρτηση ελαστικού δυναμικού (συνάρτηση πυκνότητας ενέργειας παραμόρφωσης)
\(I_1, I_2, I_3\) Κύριες αναλλοίωτες του δεξιού τανυστή Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Ανηγμένες αναλλοίωτες του \(\boldsymbol{C}\) (με διαχωρισμένη τη μεταβολή όγκου)
\(C_1, C_2\) Σταθερές υλικού του μοντέλου Mooney-Rivlin
\(D\) Σταθερά υλικού σχετιζόμενη με την ογκομετρική ελαστικότητα

Ελαστοπλαστικά υλικά

Σύμβολο Περιγραφή
\(\boldsymbol{D}^e\) Ελαστική συνιστώσα του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης
\(\boldsymbol{D}^p\) Πλαστική συνιστώσα του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Συνάρτηση διαρροής
\(\kappa\) Εσωτερική μεταβλητή που αναπαριστά την πλαστική κατάσταση (μεταβλητή ισότροπης κράτυνσης)
\(\lambda^p\) Πλαστικός πολλαπλασιαστής (πολλαπλασιαστής ρυθμού πλαστικής παραμόρφωσης): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Πλαστικό δυναμικό (\(\Theta = F\) για συσχετισμένο κανόνα ροής)
\(\bar{\sigma}\) Ισοδύναμη τάση (π.χ. τάση von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Συνάρτηση ισότροπης κράτυνσης

Συνθήκη συμπληρωματικότητας: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων

Σύμβολο Περιγραφή
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Περιοχές στην τρέχουσα και τη διαμόρφωση αναφοράς προσεγγισμένες με διακριτοποίηση πεπερασμένων στοιχείων: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Περιοχή στοιχείου στην τρέχουσα και τη διαμόρφωση αναφοράς
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Τμήμα του ορίου στοιχείου που ανήκει στο μηχανικό όριο
\(\boldsymbol{r}\) Φυσικές συντεταγμένες (τοπικές συντεταγμένες στοιχείου)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Σημείο σε φυσικές συντεταγμένες που αντιστοιχεί στον κόμβο \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Συνάρτηση σχήματος που αντιστοιχεί στον κόμβο \(\alpha\) του στοιχείου \(e\)
\(n_e\) Αριθμός κόμβων που αποτελούν ένα στοιχείο
\(n_g\) Συνολικός αριθμός καθολικών κόμβων
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Συντεταγμένες και μετατόπιση του κόμβου \(\alpha\) του στοιχείου
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Διανύσματα κομβικών συντεταγμένων και μετατοπίσεων στοιχείου: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), κ.λπ.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Καθολικά διανύσματα κομβικών συντεταγμένων και μετατοπίσεων (ταξινομημένα κατά αριθμό κόμβου και κατόπιν κατά βαθμό ελευθερίας)
\(\boldsymbol{B}\) Πίνακας σχέσης παραμόρφωσης-μετατόπισης (πίνακας B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Πίνακας συναρτήσεων σχήματος: το \(\boldsymbol{N}_\alpha\) είναι μπλοκ \(d \times d\) με τη συνάρτηση σχήματος \(N_\alpha^e\) για τον κόμβο \(\alpha\) στη διαγώνιό του, και \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Πίνακας δυσκαμψίας στοιχείου
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Ολοκληρωτέες συναρτήσεις του πίνακα δυσκαμψίας στοιχείου (εκφρασμένες στη διαμόρφωση αναφοράς και στην τρέχουσα): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (διατύπωση TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (διατύπωση UL) Διάνυσμα εσωτερικής δύναμης στοιχείου
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Εξωτερική κομβική δύναμη που δρα στον κόμβο \(\alpha\) του στοιχείου και διάνυσμα εξωτερικών κομβικών δυνάμεων στοιχείου: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Καθολικό διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων και καθολικό διάνυσμα εξωτερικών δυνάμεων: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)· ανάλογα για το \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Κομβική εσωτερική και εξωτερική δύναμη στον καθολικό κόμβο \(i_g\) (κομβικά μπλοκ των \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Καθολικός εφαπτομενικός πίνακας δυσκαμψίας: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Πίνακας που σχηματίζεται τοποθετώντας το μπλοκ \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) στη γραμμή \(i_g\), στήλη \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Διάνυσμα υπολοίπου στην επανάληψη Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Διόρθωση στην επανάληψη Newton-Raphson (λαμβάνεται επιλύοντας τη γραμμική εξίσωση \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) στην επανάληψη \(i\))
\(i_g\) Αριθμός καθολικού κόμβου (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Αριθμός καθολικού κόμβου που αντιστοιχεί στον τοπικό αριθμό κόμβου \(\alpha\) του στοιχείου \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Σύνολο ζευγών \((e, \alpha)\) που αντιστοιχούν στον αριθμό καθολικού κόμβου \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Χρησιμοποιείται σε πράξεις συναρμολόγησης
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Σύνολο πλειάδων \((e, \alpha, \beta)\) που αντιστοιχούν στο ζεύγος αριθμών καθολικών κόμβων \((i_g, i_h)\)· χρησιμοποιείται για συναρμολόγηση πίνακα δυσκαμψίας
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Δείκτες για τους κόμβους που αποτελούν ένα στοιχείο
\(i, j, k, l, \ldots\) Δείκτες βαθμών ελευθερίας (\(1, 2, 3\) σε 3D)

Προηγμένα και δομικά στοιχεία

Σύμβολο Περιγραφή
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Πίνακας σχέσης παραμόρφωσης-μετατόπισης με το ογκομετρικό του μέρος τροποποιημένο με τη μέθοδο B-bar (η ογκομετρική συνιστώσα αντικαθίσταται από τον πίνακα B που αξιολογείται στο κέντρο του στοιχείου)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Βαθμίδα παραμόρφωσης με το ογκομετρικό της μέρος τροποποιημένο με τη μέθοδο F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Λόγος όγκου της βαθμίδας παραμόρφωσης που αξιολογείται στο κέντρο του στοιχείου \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Διάνυσμα εσωτερικών βαθμών ελευθερίας για στοιχείο ασύμβατου τρόπου (συντελεστές πρόσθετων τρόπων μετατόπισης που δεν επιβάλλουν συνέχεια στο όριο του στοιχείου)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Συναρτήσεις σχήματος για ασύμβατους τρόπους: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Πάχος στοιχείου κελύφους
\(A\) Εμβαδόν διατομής στοιχείου δοκού
\(I\) Δεύτερη ροπή επιφάνειας διατομής στοιχείου δοκού
\(G\) Μέτρο διάτμησης: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status