Εξίσωση αγωγής θερμότητας¶

Το κεφάλαιο αυτό συνοψίζει, σε επίπεδο συνεχούς μέσου, την εξίσωση αγωγής θερμότητας που αντιμετωπίζει το FrontISTR και τις οριακές συνθήκες της. Η χρονική διακριτοποίηση και η διακριτοποίηση FEM παραπέμπονται στην ενότητα διακριτοποίησης (L3d) και στην ενότητα αλγορίθμων επίλυσης (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Εξίσωση που διέπει το πρόβλημα¶

Η εξίσωση αγωγής θερμότητας σε συνεχές μέσο δίνεται ως εξής.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Εδώ, \(\rho=\rho(x)\) είναι η πυκνότητα μάζας, \(c=c(x,T)\) η ειδική θερμότητα, \(T=T(x,t)\) η θερμοκρασία, \(k=k(x,T)\) η θερμική αγωγιμότητα, \(Q=Q(x,T,t)\) η παραγωγή θερμότητας, \(x\) η θέση και \(t\) ο χρόνος. Τα \(k_x, k_y, k_z\) είναι οι θερμικές αγωγιμότητες στις αντίστοιχες διευθύνσεις για ανισότροπη αγωγή θερμότητας.

Για συγκεκριμένες θερμικές ιδιότητες, συμπεριλαμβανομένης της εξάρτησης από τη θερμοκρασία και της ανισοτροπίας, βλ. Θερμικές ιδιότητες.

Οριακές συνθήκες¶

Έστω ότι η υπό εξέταση περιοχή είναι \(S\) και το σύνορό της συμβολίζεται με \(\Gamma\). Υποθέτοντας ότι σε κάθε σημείο του \(\Gamma\) καθορίζεται είτε οριακή συνθήκη τύπου Dirichlet είτε τύπου Neumann, οι οριακές συνθήκες δίνονται ως εξής.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Εδώ θεωρείται ότι οι συναρτησιακές μορφές των \(T_1\) και \(q\) είναι γνωστές. Το \(q\) είναι η θερμική ροή που εξέρχεται από το σύνορο. Η οριακή θερμική ροή \(q\) αποτελείται από τις ακόλουθες τρεις συνιστώσες.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Εδώ, \(q_s\) είναι η κατανεμημένη θερμική ροή, \(q_c\) η θερμική ροή λόγω συναγωγής και \(q_r\) η θερμική ροή λόγω ακτινοβολίας.

Επίσης, \(Tc=Tc(x,t)\) είναι η θερμοκρασία περιβάλλοντος για συναγωγή, \(hc=hc(x,t)\) ο συντελεστής συναγωγής θερμότητας, \(Tr=Tr(x,t)\) η θερμοκρασία περιβάλλοντος για ακτινοβολία, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) ο συντελεστής ακτινοβολούμενης μεταφοράς θερμότητας, \(\varepsilon\) η εκπεμπτικότητα, \(\sigma\) η σταθερά Stefan-Boltzmann και \(F\) ο συντελεστής θέασης.

Για τον τρόπο καθορισμού αυτών των συνθηκών σε αρχείο εισόδου, βλ. Οριακές συνθήκες και φορτία στην αναφορά λειτουργιών.

Ασθενής μορφή¶

Σύζευξη με δομική ανάλυση¶

Σχετικά θέματα¶

Μη μόνιμη αγωγή θερμότητας — Χρονική διακριτοποίηση και μη γραμμική επανάληψη
Θερμικές ιδιότητες — Διατύπωση ιδιοτήτων υλικού και εξάρτηση από τη θερμοκρασία
Συναρτήσεις σχήματος και προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων — Πλαίσιο διακριτοποίησης FEM
Αναφορά λειτουργιών: Οριακές συνθήκες και φορτία — Είσοδος οριακών συνθηκών για ανάλυση αγωγής θερμότητας