Μετάβαση στο περιεχόμενο

Πλαίσιο επαυξητικής ανάλυσης

Ανάγκη για επαυξητική ανάλυση

Όπως περιγράφηκε παραπάνω, στην ανάλυση προβλημάτων μικρών παραμορφώσεων, η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας την αρχή του εικονικού έργου, η οποία είναι ισοδύναμη με τις θεμελιώδεις εξισώσεις όπως οι εξισώσεις ισορροπίας, και διακριτοποιώντας αυτή την εξίσωση με πεπερασμένα στοιχεία. Η ίδια βασική αρχή του εικονικού έργου χρησιμοποιείται επίσης στην ανάλυση προβλημάτων πεπερασμένων παραμορφώσεων που περιλαμβάνουν μεγάλη παραμόρφωση κατασκευών.

Ωστόσο, στα προβλήματα πεπερασμένων παραμορφώσεων, ακόμη και αν θεωρηθεί γραμμικότητα του υλικού, η εξίσωση της αρχής του εικονικού έργου γίνεται μη γραμμική ως προς τη μετατόπιση. Για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων, γενικά εκτελούνται επαναληπτικοί υπολογισμοί με επαναληπτική μέθοδο.

Σε αυτούς τους επαναληπτικούς υπολογισμούς χρησιμοποιείται μέθοδος επαυξητικής ανάλυσης, στην οποία ο υπολογισμός εκτελείται τμηματικά για μικρές αυξήσεις φορτίου και οι αυξήσεις συσσωρεύονται μέχρι να επιτευχθεί η τελική παραμορφωμένη κατάσταση. Όταν θεωρείται πρόβλημα μικρών παραμορφώσεων, δεν γίνεται ιδιαίτερη διάκριση μεταξύ των διαμορφώσεων πριν και μετά την παραμόρφωση κατά τον ορισμό της παραμόρφωσης και της τάσης. Δηλαδή, υπό την παραδοχή μικρών παραμορφώσεων, δεν έχει σημασία αν η διαμόρφωση που χρησιμοποιείται για την περιγραφή των θεμελιωδών εξισώσεων είναι η διαμόρφωση πριν ή μετά την παραμόρφωση.

Όταν εκτελείται επαυξητική ανάλυση για πρόβλημα πεπερασμένων παραμορφώσεων, η διατύπωση διαφέρει ανάλογα με το αν ως διαμόρφωση αναφοράς λαμβάνεται η αρχική διαμόρφωση ή η διαμόρφωση στην αρχή της αύξησης. Η πρώτη ονομάζεται μέθοδος Total Lagrange και η δεύτερη μέθοδος Updated Lagrange. Για λεπτομέρειες, ανατρέξτε στις βιβλιογραφικές αναφορές στο τέλος του κεφαλαίου και στο σχετικό υλικό.

Αρχική εξίσωση: αρχή του εικονικού έργου τη χρονική στιγμή \(t'\)

Θεωρούμε επαυξητική ανάλυση στην οποία η κατάσταση έως τη χρονική στιγμή \(t\) είναι γνωστή και η κατάσταση στη χρονική στιγμή \(t' = t + \Delta t\) είναι άγνωστη (βλ. Σχήμα 2.2.1). Οι εξισώσεις ισορροπίας, οι οριακές συνθήκες και η αρχή του εικονικού έργου στη χρονική στιγμή \(t'\) (εκφρασμένες στην τρέχουσα διαμόρφωση με χρήση της τάσης Cauchy \(^{t'}\sigma\) και του γραμμικού μέρους της παραμόρφωσης Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) δίνονται στην Αρχή του εικονικού έργου.

Έννοια της επαυξητικής ανάλυσης

Σχήμα 2.2.1 Έννοια της επαυξητικής ανάλυσης

Ωστόσο, επειδή αυτή η αρχική εξίσωση γράφεται στην (άγνωστη) διαμόρφωση τη χρονική στιγμή \(t'\), η πραγματική διαδικασία επίλυσης επιλέγει ως διαμόρφωση αναφοράς είτε την αρχική διαμόρφωση \(V\) στη χρονική στιγμή \(0\) είτε την τρέχουσα διαμόρφωση \(^{t'} v\) στη χρονική στιγμή \(t\), επαναδιατυπώνει την εξίσωση σε επαυξητική μορφή και στη συνέχεια την επιλύει:

  • Μέθοδος Total Lagrange — Χρησιμοποιεί ως αναφορά την αρχική διαμόρφωση \(V\). Χρησιμοποιούνται η δεύτερη τάση PK \(\boldsymbol{S}\) και η παραμόρφωση Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • Μέθοδος Updated Lagrange — Χρησιμοποιεί ως αναφορά την τρέχουσα διαμόρφωση \(^{t}v\) στην αρχή της αύξησης. Χρησιμοποιούνται η τάση Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) και το γραμμικό μέρος της παραμόρφωσης Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Για τη χωρική διακριτοποίηση και των δύο διατυπώσεων (πίνακας B και διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων), βλ. Διακριτοποίηση του εσωτερικού εικονικού έργου· για τη γραμμικοποίηση και την κατασκευή της εφαπτομενικής δυσκαμψίας, βλ. Πίνακας εφαπτομενικής δυσκαμψίας.

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status