Μετάβαση στο περιεχόμενο

Αρχή των εικονικών έργων

Με βάση την εξίσωση ισορροπίας και τις οριακές συνθήκες που προέκυψαν στο Τάση και νόμοι διατήρησης, εξάγουμε την αρχή των εικονικών έργων, δηλαδή την ασθενή μορφή του προβλήματος οριακών τιμών της μηχανικής συνεχούς μέσου. Η διακριτοποίηση πεπερασμένων στοιχείων ξεκινά από αυτή την ασθενή μορφή. Το κεφάλαιο αυτό παρουσιάζει τόσο τη μορφή στην τρέχουσα διαμόρφωση (εκφρασμένη με την τάση Cauchy και το γραμμικό μέρος της παραμόρφωσης Almansi) όσο και τη μορφή στη διαμόρφωση αναφοράς (εκφρασμένη με τη δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff και την παραμόρφωση Green-Lagrange), δείχνει την ισοδυναμία τους και στη συνέχεια επιβεβαιώνει τη μετάβαση στην περίπτωση μικρών παραμορφώσεων.

Εξίσωση ισορροπίας και οριακές συνθήκες

Έστω \(\boldsymbol{g}\) η δύναμη όγκου που δρα στο συνεχές ανά μονάδα μάζας και θεωρούμε ένα σώμα που καταλαμβάνει την περιοχή \(\Omega\) στην τρέχουσα διαμόρφωση. Το σύνορο \(\Gamma\) διαμερίζεται στο γεωμετρικό σύνορο \(\Gamma_B\), όπου επιβάλλεται μετατόπιση \(\bar{\boldsymbol{u}}\), και στο μηχανικό σύνορο \(\Gamma_t\), όπου επιβάλλεται επιφανειακή έλξη \(\bar{\boldsymbol{t}}\), με \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) και \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Για ένα στατικό πρόβλημα, η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει παραλείποντας τον αδρανειακό όρο από τον νόμο διατήρησης της ορμής που παρουσιάζεται στο Τάση και νόμοι διατήρησης:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{στην} \ \Omega \]

Οι οριακές συνθήκες είναι

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{στο} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{στο} \ \Gamma_B \]

Στη συνέχεια, η αρχή των εικονικών έργων εξάγεται ως ασθενής μορφή της εξίσωσης ισορροπίας και της μηχανικής οριακής συνθήκης \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Η γεωμετρική οριακή συνθήκη \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ενσωματώνεται μέσω της επιλογής της δοκιμαστικής συνάρτησης.

Ασθενής μορφή στην τρέχουσα διαμόρφωση

Στην ασθενή μορφή, ορίζουμε αντίστοιχα τον επιτρεπτό χώρο για την άγνωστη μετατόπιση και τον χώρο των δοκιμαστικών συναρτήσεων ως

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{στο} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{στο} \ \Gamma_B \} \]

Εδώ, \(d\) είναι η χωρική διάσταση, \(H^1(\Omega)\) είναι ο χώρος Sobolev συναρτήσεων τετραγωνικά ολοκληρώσιμων μαζί με τις πρώτες ασθενείς παραγώγους τους και \(\delta\) δηλώνει μεταβολή. Στην αναπαράσταση της τρέχουσας διαμόρφωσης, η \(\Omega\) είναι η παραμορφωμένη διαμόρφωση· σε πραγματική αριθμητική επίλυση, η διατύπωση μεταφέρεται στη διαμόρφωση αναφοράς ή σε μια γνωστή ενδιάμεση διαμόρφωση.

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση ισορροπίας με το βάρος \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) και εφαρμόζοντας το θεώρημα απόκλισης του Gauss και τη μηχανική οριακή συνθήκη, προκύπτει η ακόλουθη αρχή των εικονικών έργων στην τρέχουσα διαμόρφωση.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Εδώ, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) είναι το γραμμικό μέρος του τανυστή παραμόρφωσης Almansi, που ορίζεται από

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Η μεταβολή του είναι \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Συνεπώς, αναζητούμε \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ώστε η εξίσωση εικονικού έργου να ικανοποιείται για κάθε \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Το αριστερό μέλος είναι το εικονικό έργο των εσωτερικών δυνάμεων, ενώ το δεξί μέλος είναι το εικονικό έργο των εξωτερικών δυνάμεων λόγω της επιβαλλόμενης επιφανειακής έλξης και της δύναμης όγκου.

Επειδή αυτή η εξίσωση είναι γραμμένη στην παραμορφωμένη περιοχή (τρέχουσα διαμόρφωση), μια πραγματική διαδικασία επίλυσης επιλέγει εκ νέου ως διαμόρφωση αναφοράς την αρχική διαμόρφωση \(\Omega_0\) ή μια γνωστή ενδιάμεση διαμόρφωση, ξαναγράφει την εξίσωση σε αυξητική μορφή και στη συνέχεια την επιλύει. Για τη συγκεκριμένη επιλογή διαμόρφωσης αναφοράς (Total Lagrange / Updated Lagrange) και την αυξητική αποσύνθεση, βλ. Πλαίσιο αυξητικής ανάλυσης.

Ασθενής μορφή στην αρχική διαμόρφωση

Θεωρούμε ένα σώμα που καταλαμβάνει την περιοχή \(\Omega_0\) στη διαμόρφωση αναφοράς, με σύνορο \(\Gamma_0\) διαμερισμένο σε \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Μεταφέροντας την αναπαράσταση της τρέχουσας διαμόρφωσης στη διαμόρφωση αναφοράς, προκύπτει το συζυγές ζεύγος τάσης-παραμόρφωσης της δεύτερης τάσης Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) και της παραμόρφωσης Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Η αρχή των εικονικών έργων στην αρχική διαμόρφωση είναι τότε

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Εδώ, \(\rho_0\) είναι η πυκνότητα μάζας στη διαμόρφωση αναφοράς και, από τη σχέση διατήρησης μάζας \(\rho_0 = J\rho\), η έκφραση αυτή είναι ισοδύναμη με την αναπαράσταση της δύναμης όγκου στην τρέχουσα διαμόρφωση.

Ισοδυναμία των αναπαραστάσεων τρέχουσας και αρχικής διαμόρφωσης

Το εικονικό έργο των εσωτερικών δυνάμεων στις δύο αναπαραστάσεις συμπίπτει μέσω του μετασχηματισμού με τη βαθμίδα παραμόρφωσης \(\boldsymbol{F}\) και τον λόγο όγκου \(J = \det \boldsymbol{F}\), δηλαδή

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Οι όροι εξωτερικών δυνάμεων είναι επίσης ισοδύναμοι λόγω της διατήρησης μάζας και του μετασχηματισμού της επιφανειακής έλξης. Επομένως, η εξίσωση εικονικού έργου στην τρέχουσα διαμόρφωση και εκείνη στην αρχική διαμόρφωση εκφράζουν την ίδια αρχή σε διαφορετικές διαμορφώσεις. Μια μέθοδος επίλυσης που αναφέρεται στη διαμόρφωση αναφοράς αντιστοιχεί στη μέθοδο Total Lagrange, ενώ μια μέθοδος επίλυσης που αναφέρεται στην τρέχουσα διαμόρφωση (την αμέσως προηγούμενη συγκλίνουσα διαμόρφωση) αντιστοιχεί στη μέθοδο Updated Lagrange.

Μετάβαση σε μικρές παραμορφώσεις

Υπό τις παραδοχές μικρών παραμορφώσεων \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) και \(J \approx 1\), η διάκριση μεταξύ τρέχουσας και διαμόρφωσης αναφοράς εξαφανίζεται, η δεύτερη τάση PK συμπίπτει με την τάση Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), και τόσο η παραμόρφωση Green-Lagrange όσο και το γραμμικό μέρος της παραμόρφωσης Almansi ανάγονται στην απειροστική παραμόρφωση \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Η αρχή των εικονικών έργων ανάγεται τότε στην ασθενή μορφή που εκφράζεται με την τάση Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) και την απειροστική παραμόρφωση \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{στο} \ \Gamma_B \]

Αυτή είναι η ασθενής μορφή που χρησιμοποιείται άμεσα για διακριτοποίηση στη γραμμική ελαστική στατική ανάλυση μικρών παραμορφώσεων (η Γραμμική ελαστική στατική ανάλυση (εισαγωγή και παράρτημα) ξεκινά από αυτή τη μορφή και δείχνει την κατασκευή της δυσκαμψίας στοιχείου \(\boldsymbol{K}^e\) μέσω της συναρμολόγησης της καθολικής εξίσωσης \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Αντικαθιστώντας τον γραμμικό ελαστικό καταστατικό νόμο \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) και γράφοντας \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) σε συμβολισμό Voigt, η ασθενής μορφή γίνεται

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

η οποία έχει αυτή τη μορφή.

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status