Τάση και νόμοι διατήρησης¶

Το κεφάλαιο αυτό οργανώνει τους ορισμούς και τις αμοιβαίες σχέσεις των τανυστών τάσης, καθώς και τις εξισώσεις ισορροπίας και τη συμμετρία της τάσης που προκύπτουν από τη διατήρηση της μάζας, της γραμμικής ορμής και της στροφορμής. Οι τρεις τανυστές τάσης — τάση Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), πρώτη τάση Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) και δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) — εισάγονται ανάλογα με τη διαμόρφωση στην οποία αναφέρονται η επιφάνεια και το διάνυσμα δύναμης. Για τους ορισμούς της διαμόρφωσης, της κίνησης και της βαθμίδας παραμόρφωσης, βλ. Κίνηση, παραμόρφωση και παραμορφώσεις, και για τον κατάλογο συμβόλων βλ. Κατάλογος συμβόλων φυσικών μεγεθών.

Τανυστής τάσης Cauchy¶

Έστω \(d\boldsymbol{f}\) η δύναμη που δρα σε απειροστή επιφάνεια στο σημείο \(\boldsymbol{x}\) της τρέχουσας διαμόρφωσης (εμβαδόν \(d\Gamma\), εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα \(\boldsymbol{n}\)), και ορίζεται το διάνυσμα έλξης \(\boldsymbol{t}\) ως δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας μέσω της σχέσης \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). Το \(\boldsymbol{t}\) εξαρτάται τόσο από τη θέση \(\boldsymbol{x}\) όσο και από το κάθετο διάνυσμα \(\boldsymbol{n}\). Η εφαρμογή της διατήρησης της ορμής σε απειροστό τετράεδρο δείχνει ότι το \(\boldsymbol{t}\) είναι γραμμικό ως προς το \(\boldsymbol{n}\), επομένως υπάρχει τανυστής δεύτερης τάξης \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) τέτοιος ώστε

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

για κάθε \(\boldsymbol{n}\) (θεώρημα τάσης του Cauchy). Ο τανυστής \(\boldsymbol{\sigma}\) ονομάζεται τανυστής τάσης Cauchy και επίσης αληθής τάση, επειδή εκφράζει τη δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας που μετράται ως προς τη γεωμετρία της τρέχουσας διαμόρφωσης. Η συνιστώσα \(\sigma_{ij}\) εκφράζει τη συνιστώσα της δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας στη διεύθυνση \(x_i\), η οποία δρα σε απειροστή επιφάνεια κάθετη στον άξονα συντεταγμένων \(x_j\) στην τρέχουσα διαμόρφωση.

Όπως προκύπτει παρακάτω από τη διατήρηση της στροφορμής, η τάση Cauchy είναι συμμετρικός τανυστής:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Στις τρεις διαστάσεις έχει επομένως έξι ανεξάρτητες συνιστώσες (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Η διανυσματοποίηση της τάσης στη σημειογραφία Voigt προϋποθέτει αυτή τη συμμετρία (βλ. Τανυστική σημειογραφία και μαθηματικά θεμέλια). Η τάση Cauchy χρησιμοποιείται για την έξοδο τάσεων στη γεωμετρικά μη γραμμική ανάλυση του FrontISTR με τη μέθοδο Updated Lagrange και στην ανάλυση μικρών παραμορφώσεων.

Πρώτη και δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff¶

Για πεπερασμένες παραμορφώσεις είναι συχνά βολικό η τάση να εκφράζεται ως προς επιφάνειες και διανύσματα στη διαμόρφωση αναφοράς, γι' αυτό εισάγονται δύο τανυστές τάσης Piola-Kirchhoff. Έστω \(d\Gamma_0\) το εμβαδόν απειροστής επιφάνειας στη διαμόρφωση αναφοράς και \(\boldsymbol{N}\) το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμά της.

Η πρώτη τάση Piola-Kirchhoff (πρώτη τάση PK, ονομαστική τάση) \(\boldsymbol{P}\) ορίζεται ως ο τανυστής τάσης που προκύπτει όταν η δύναμη \(d\boldsymbol{f}\) της τρέχουσας διαμόρφωσης εφαρμόζεται σε απειροστή επιφάνεια της διαμόρφωσης αναφοράς:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) μαζί με το θεώρημα τάσης του Cauchy, προκύπτει η σχέση με την τάση Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Η πρώτη τάση PK είναι γενικά μη συμμετρική.

Η δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff (δεύτερη τάση PK) \(\boldsymbol{S}\) ορίζεται ως ο τανυστής τάσης που προκύπτει αν η δύναμη \(d\boldsymbol{f}\) της τρέχουσας διαμόρφωσης μεταφερθεί πίσω στη διαμόρφωση αναφοράς με \(\boldsymbol{F}^{-1}\) και εφαρμοστεί σε απειροστή επιφάνεια της διαμόρφωσης αναφοράς:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Τόσο το διάνυσμα δύναμης όσο και η επιφάνεια στην οποία δρα εκφράζονται με μεγέθη της διαμόρφωσης αναφοράς, με αποτέλεσμα να είναι αναλλοίωτη ως προς άκαμπτη περιστροφή και συμμετρική. Οι σχέσεις της με την πρώτη τάση PK και ο μετασχηματισμός από την τάση Cauchy είναι

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Η δεύτερη τάση PK παράγεται από μια υπερελαστική συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης \(W(\boldsymbol{C})\) ως \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) και, στη μέθοδο Total Lagrange, χρησιμοποιείται μαζί με την παραμόρφωση Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ως ενεργειακά συζυγές ζεύγος \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Οι διαμορφώσεις αναφοράς και οι ιδιότητες συμμετρίας συνοψίζονται παρακάτω. Στο όριο μικρών παραμορφώσεων (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), οι τρεις τάσεις ταυτίζονται.

Τανυστής τάσης	Επιφάνεια αναφοράς	Διάνυσμα δύναμης	Συμμετρία	Εφαρμογή
Τάση Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	Τρέχουσα διαμόρφωση \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Τρέχουσα διαμόρφωση \(d\boldsymbol{f}\)	Συμμετρική	Μέθοδος Updated Lagrange / ανάλυση μικρών παραμορφώσεων
Πρώτη τάση PK \(\boldsymbol{P}\)	Διαμόρφωση αναφοράς \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Τρέχουσα διαμόρφωση \(d\boldsymbol{f}\)	Γενικά μη συμμετρική	Εξισώσεις ισορροπίας στη διαμόρφωση αναφοράς
Δεύτερη τάση PK \(\boldsymbol{S}\)	Διαμόρφωση αναφοράς \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Διαμόρφωση αναφοράς \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Συμμετρική	Μέθοδος Total Lagrange / υπερελαστικότητα

Διατήρηση μάζας και ορμής και εξισώσεις ισορροπίας¶

Έστω \(\rho\) η πυκνότητα μάζας στην τρέχουσα διαμόρφωση και \(\rho_0\) η πυκνότητα μάζας στη διαμόρφωση αναφοράς. Ο νόμος διατήρησης της μάζας \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), μαζί με τον μετασχηματισμό στοιχείου όγκου \(dv = J\, dV\), ανάγεται στην τοπική μορφή

\[ \rho_0 = J \rho \]

Αυτή είναι η τοπική σχέση διατήρησης της μάζας.

Έστω \(\boldsymbol{g}\) η δύναμη όγκου ανά μονάδα μάζας και \(\boldsymbol{a}\) η επιτάχυνση. Η εφαρμογή του θεωρήματος τάσης του Cauchy και του θεωρήματος απόκλισης του Gauss στη διατήρηση της γραμμικής ορμής (πρώτος νόμος κίνησης του Euler) δίνει την τοπική εξίσωση ισορροπίας (εξίσωση κίνησης) στην τρέχουσα διαμόρφωση:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Η επαναδιατύπωση του ολοκληρώματος στη διαμόρφωση αναφοράς με χρήση του τύπου του Nanson και της σχέσης \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) δίνει την τοπική μορφή στη διαμόρφωση αναφοράς:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Οι δύο μορφές είναι ισοδύναμες μέσω του κανόνα μετασχηματισμού της τάσης και της σχέσης \(\rho_0 = J\rho\). Παραλείποντας τον όρο αδράνειας προκύπτει

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

που είναι η εξίσωση στατικής ισορροπίας και αποτελεί το σημείο εκκίνησης για τη στατική ανάλυση FrontISTR (γραμμική και μη γραμμική).

Διατήρηση στροφορμής και συμμετρία τάσης¶

Ο συνδυασμός της διατήρησης της στροφορμής (δεύτερος νόμος κίνησης του Euler) με την εξίσωση ισορροπίας που προκύπτει από τη διατήρηση της γραμμικής ορμής οδηγεί στη συμμετρία του τανυστή τάσης Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Επομένως, στις τρεις διαστάσεις έχει έξι ανεξάρτητες συνιστώσες. Λαμβάνοντας το ανάστροφο και των δύο μελών του μετασχηματισμού \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) και χρησιμοποιώντας τη μη ιδιομορφία του \(\boldsymbol{F}\), προκύπτει ότι και η δεύτερη τάση PK είναι συμμετρική:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

και επομένως έχει επίσης έξι ανεξάρτητες συνιστώσες. Αντίθετα, η πρώτη τάση PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) είναι γενικά μη συμμετρική· ισχύει μόνο η σχέση \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (δηλαδή το \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) είναι συμμετρικό), και έχει εννέα ανεξάρτητες συνιστώσες.

Αυτές οι συμμετρίες αποτελούν τη βάση για την έκφραση της τάσης ως διανύσματος έξι συνιστωσών σε σημειογραφία Voigt. Για τις συμβάσεις σημειογραφίας Voigt και την κατασκευή των μητρώων υλικού, βλ. Τανυστική σημειογραφία και μαθηματικά θεμέλια και Γραμμική ελαστικότητα.