Προηγμένες διατυπώσεις στοιχείων¶

Η τυπική διατύπωση βάσει μετατοπίσεων που παρουσιάζεται στη Διατύπωση τρισδιάστατων στερεών στοιχείων εμφανίζει υπερβολική τεχνητή δυσκαμψία, γνωστή ως κλείδωμα (ογκομετρικό κλείδωμα ή διατμητικό κλείδωμα), όταν εφαρμόζεται σε σχεδόν ασυμπίεστα υλικά ή λεπτότοιχες κατασκευές όπου κυριαρχεί η κάμψη. Για την αποφυγή αυτού, το FrontISTR παρέχει τις μεθόδους B-bar και F-bar, οι οποίες αντικαθιστούν μόνο το ογκομετρικό μέρος του πίνακα B ή της βαθμίδας παραμόρφωσης· ασύμβατα στοιχεία με εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας· μικτά στοιχεία u-p που αντιμετωπίζουν την πίεση ως ανεξάρτητο άγνωστο πεδίο· και στοιχεία κελύφους και δοκού MITC εξειδικευμένα για κατασκευές πλακών και δοκών.

Το κεφάλαιο αυτό συνοψίζει τις διατυπώσεις αυτών των προηγμένων και δομικών στοιχείων ανά τύπο στοιχείου.

Μέθοδος B-bar¶

Όταν χρησιμοποιείται γραμμικό εξαεδρικό στοιχείο 8 κόμβων για σχεδόν ασυμπίεστο υλικό, το πεδίο παραμόρφωσης μέσα σε ένα στοιχείο μπορεί να έρχεται σε σύγκρουση με τον περιορισμό σταθερού όγκου, προκαλώντας υπερβολική δυσκαμψία γνωστή ως ογκομετρικό κλείδωμα. Η μέθοδος B-bar μετριάζει αυτόν τον υπερπεριορισμό αντικαθιστώντας τις συνιστώσες του πίνακα B που συμβάλλουν στην ογκομετρική διαστολή με τιμές που υπολογίζονται στο κέντρο του στοιχείου [Hughes1980].

Στο κέντρο του στοιχείου \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), έστω \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ο πίνακας B που υπολογίζεται από τις χωρικές παραγώγους των συναρτήσεων σχήματος· στο σημείο ολοκλήρωσης \(\boldsymbol{r}\), έστω \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) ο συνήθης πίνακας B. Στη σχέση μετατόπισης-παραμόρφωσης για τον κόμβο \(\alpha\) και τον βαθμό ελευθερίας \(i\), οι ογκομετρικές συνιστώσες παραμόρφωσης \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) τροποποιούνται με την προσθήκη

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Για τις διατμητικές συνιστώσες \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) χρησιμοποιείται ο συνήθης \(\boldsymbol{B}\). Η δυσκαμψία του στοιχείου και το διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων συναρμολογούνται χρησιμοποιώντας τον προκύπτοντα πίνακα B-bar.

Το FrontISTR παρέχει αυτή τη διατύπωση ειδικά για το γραμμικό εξαεδρικό στοιχείο 8 κόμβων (ID στοιχείου 361· δείτε Σύστημα αρίθμησης στοιχείων) και μπορεί να εφαρμοστεί σε διατυπώσεις μικρής παραμόρφωσης, Total Lagrange και Updated Lagrange.

Μέθοδος F-bar¶

Σε πεπερασμένη παραμόρφωση, η μεταβολή όγκου εισέρχεται μη γραμμικά μέσω της βαθμίδας παραμόρφωσης \(\boldsymbol{F}\). Η μέθοδος F-bar [deSouzaNeto1996] εφαρμόζει αντιμετώπιση του ογκομετρικού κλειδώματος ανάλογη με τη μέθοδο B-bar στο επίπεδο της βαθμίδας παραμόρφωσης.

Έστω ότι ο λόγος όγκου της βαθμίδας παραμόρφωσης που υπολογίζεται στο κέντρο του στοιχείου \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) είναι \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) και ότι ο λόγος όγκου σε σημείο ολοκλήρωσης είναι \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Η βαθμίδα παραμόρφωσης στο σημείο ολοκλήρωσης αντικαθίσταται από

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Έτσι προκύπτει \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), ώστε ο λόγος όγκου σε ολόκληρο το στοιχείο να εξισώνεται με την τιμή στο κέντρο του στοιχείου. Το αντικατεστημένο \(\bar{\boldsymbol{F}}\) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τάσης και την κατασκευή του πίνακα παραμόρφωσης-μετατόπισης, ενώ η εφαπτομενική δυσκαμψία του στοιχείου περιλαμβάνει τους πρόσθετους όρους που συνδέονται με αυτήν την αντικατάσταση.

Το FrontISTR υλοποιεί τη μέθοδο F-bar ειδικά για το γραμμικό εξαεδρικό στοιχείο 8 κόμβων και μπορεί να εφαρμοστεί τόσο σε μικρή παραμόρφωση όσο και σε μη γραμμική γεωμετρία Total Lagrange / Updated Lagrange.

Ασύμβατα στοιχεία¶

Το γραμμικό εξαεδρικό στοιχείο 8 κόμβων στερείται των μορφών παραμόρφωσης που απαιτούνται για κάμψη και εμφανίζει κλείδωμα κάμψης σε προβλήματα όπου κυριαρχεί η κάμψη. Τα ασύμβατα στοιχεία [Taylor1976] εισάγουν πρόσθετες μορφές μετατόπισης μέσα στο στοιχείο για να αντισταθμίσουν αυτή την ανεπάρκεια.

Εκτός από τις κομβικές μετατοπίσεις του στοιχείου \(\boldsymbol{u}^e\), εισάγονται βαθμοί ελευθερίας ασύμβατων μορφών \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) που υπάρχουν μόνο μέσα στο στοιχείο, ως 3 διευθύνσεις × 3 μορφές ανά στοιχείο, και το πεδίο μετατόπισης προσεγγίζεται ως

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Για φυσικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), οι ασύμβατες συναρτήσεις σχήματος λαμβάνονται ως \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) και \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Δεν εγγυώνται συνέχεια στα όρια των στοιχείων, αλλά προσθέτουν έναν εσωτερικό χώρο ικανό να αναπαράγει τις παραμορφώσεις που συνδέονται με μορφές κάμψης.

Η δυσκαμψία του στοιχείου συναρμολογείται αρχικά σε μορφή μπλοκ εξωτερικών/εσωτερικών βαθμών ελευθερίας

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Μετά τη συναρμολόγηση σε αυτή τη μορφή, η στατική συμπύκνωση εξαλείφει τους εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας με χρήση του \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), δίνοντας τη δυσκαμψία στοιχείου που περιλαμβάνει μόνο τους εξωτερικούς βαθμούς ελευθερίας

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

η οποία μεταβιβάζεται στην καθολική συναρμολόγηση.

Το FrontISTR υλοποιεί το ασύμβατο στοιχείο ειδικά για το γραμμικό εξαεδρικό στοιχείο 8 κόμβων (C3D8IC) και μπορεί να εφαρμοστεί σε διατυπώσεις μικρής παραμόρφωσης, Total Lagrange και Updated Lagrange.

Μικτά στοιχεία U-P¶

Ενώ οι μέθοδοι B-bar και F-bar διορθώνουν την ογκομετρική συνιστώσα μέσα σε πλαίσιο βάσει μετατοπίσεων, το μικτό στοιχείο u-p (U-P) χρησιμοποιεί μικτή διατύπωση [Bathe1996] που εισάγει την πίεση \(\lambda\) ως άγνωστο πεδίο ανεξάρτητο από τη μετατόπιση. Για σχεδόν ασυμπίεστα υλικά, όπως ελαστομερή με λόγο Poisson εξαιρετικά κοντά στο 0,5 ή μέταλλα μετά από πλαστική παραμόρφωση, η επιβολή του περιορισμού σταθερού όγκου μόνο μέσω του πεδίου μετατόπισης προκαλεί ογκομετρικό κλείδωμα· η αντιμετώπιση της πίεσης ως ανεξάρτητης μεταβλητής χαλαρώνει αυτόν τον περιορισμό.

Η τάση διαχωρίζεται σε αποκλίνουσα συνιστώσα και συνιστώσα πίεσης ως

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Εδώ, το \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) είναι ο αποκλίνων ελαστικός πίνακας που προκύπτει αφαιρώντας από τον ελαστικό πίνακα το ογκομετρικό μέρος που είναι ανάλογο του μέτρου όγκου \(K\). Η πίεση \(\lambda\) και η ογκομετρική παραμόρφωση \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) συνδέονται μέσω του περιορισμού και της συμπιεστότητας \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Η διακριτοποίηση με άγνωστες τη μετατόπιση \(\boldsymbol{u}\) και την πίεση \(\lambda\) δίνει το συζευγμένο σύστημα του στοιχείου

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

όπου το \(\mathbf{K}_{uu}\) περιέχει την αποκλίνουσα ελαστική συνεισφορά και, για πεπερασμένη παραμόρφωση, τη γεωμετρική δυσκαμψία· το \(\mathbf{K}_{up}\) συζεύγει την ογκομετρική παραμόρφωση και την πίεση· και το \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) είναι ο όρος σταθεροποίησης πίεσης (\(\boldsymbol{N}_p\) είναι η συνάρτηση σχήματος πίεσης). Επειδή οι βαθμοί ελευθερίας πίεσης είναι εσωτερικοί στο στοιχείο,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

εκτελείται στατική συμπύκνωση σε αυτή τη μορφή και η ενεργός δυσκαμψία που περιλαμβάνει μόνο τους εξωτερικούς βαθμούς ελευθερίας (μετατόπισης) μεταβιβάζεται στην καθολική συναρμολόγηση.

Το FrontISTR υλοποιεί το στοιχείο U-P ειδικά για το γραμμικό εξαεδρικό στοιχείο 8 κόμβων, με έναν βαθμό ελευθερίας πίεσης ανά στοιχείο (σταθερό μέσα στο στοιχείο). Μπορεί να εφαρμοστεί σε διατυπώσεις μικρής παραμόρφωσης, Total Lagrange και Updated Lagrange. Στην Updated Lagrange, η αποκλίνουσα τάση ενημερώνεται με αντικειμενικό ρυθμό τάσης (τύπου Jaumann/Hughes-Winget) και στη συνέχεια επιβάλλεται η πίεση \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) χρησιμοποιώντας την τιμή που προκύπτει από τη στατική συμπύκνωση.

Στοιχεία κελύφους¶

Στοιχεία κελύφους βασισμένα στη θεωρία πλακών/κελυφών Reissner-Mindlin χρησιμοποιούνται για λεπτότοιχες κατασκευές πλακών και κελυφών. Καθώς μειώνεται το πάχος, στοιχεία πλακών/κελυφών χαμηλής τάξης βάσει μετατοπίσεων υπερεκτιμούν την εγκάρσια διατμητική παραμόρφωση μέσω μηχανισμού ανάλογου με το ογκομετρικό κλείδωμα (διατμητικό κλείδωμα), προκαλώντας υπερβολική αύξηση της δυσκαμψίας για μορφές κάμψης. Η μέθοδος MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] αποφεύγει αυτό το πρόβλημα επαναδειγματοληπτώντας μόνο τις συνιστώσες διατμητικής παραμόρφωσης σε προκαθορισμένα σημεία δέσμευσης μέσα στο στοιχείο και παρεμβάλλοντας ξανά τις δειγματοληπτημένες τιμές σε όλο το στοιχείο.

Οι κόμβοι ενός στοιχείου κελύφους MITC βρίσκονται στη μέση επιφάνεια και κάθε κόμβος έχει έξι βαθμούς ελευθερίας: τρεις μεταφορικές και τρεις περιστροφικές συνιστώσες ως προς το σύστημα συντεταγμένων της καθέτου στη μέση επιφάνεια. Η δυσκαμψία του στοιχείου υπολογίζεται με τρισδιάστατη ολοκλήρωση Gauss στις φυσικές συντεταγμένες της μέσης επιφάνειας και στη διεύθυνση πάχους, και το πάχος \(h\) παρέχεται ως ιδιότητα στοιχείου κατά την καταστατική αξιολόγηση.

Το FrontISTR παρέχει MITC3 (ID στοιχείου 731), MITC4 (741) και MITC9 (743), τα οποία αναπαρίστανται από ένα στρώμα μέσης επιφάνειας, καθώς και στρωματοποιημένα στοιχεία κελύφους MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 κόμβοι, 3 βαθμοί ελευθερίας ανά κόμβο) και MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 κόμβοι, 3 βαθμοί ελευθερίας ανά κόμβο), των οποίων οι κόμβοι διατάσσονται σε δύο στρώματα κατά το πάχος. Στα στρωματοποιημένα στοιχεία κελύφους, οι κομβικοί βαθμοί ελευθερίας αποτελούνται μόνο από τρεις μεταφορικές συνιστώσες, ενώ οι μορφές κάμψης που αντιστοιχούν σε περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας αναπαρίστανται από τη διάταξη δύο στρωμάτων.

Στοιχεία δοκού¶

Γραμμικά μέλη όπως δοκοί και πλαισιωτές κατασκευές διακριτοποιούνται με στοιχεία δοκού. Το FrontISTR χρησιμοποιεί διατύπωση δοκού Timoshenko που λαμβάνει υπόψη τη διατμητική παραμόρφωση και εκφράζει τόσο την κάμψη όσο και τη διάτμηση ως συναρτήσεις μεταφορικών και περιστροφικών βαθμών ελευθερίας.

Κάθε κόμβος δοκού έχει έξι βαθμούς ελευθερίας: τρεις μεταφορικές και τρεις περιστροφικές συνιστώσες γύρω από τον άξονα της δοκού και τους εγκάρσιους άξονες. Η δυσκαμψία του στοιχείου υπολογίζεται με μονοδιάστατη αριθμητική ολοκλήρωση κατά μήκος του άξονα της δοκού. Το εμβαδόν διατομής \(A\) και οι δεύτερες ροπές επιφάνειας \(I\) στις διευθύνσεις κάμψης και στρέψης παρέχονται ως ιδιότητες διατομής δοκού και, μαζί με το μέτρο Young \(E\) και το μέτρο διάτμησης \(G\) του υλικού, ορίζουν την αξονική, καμπτική, στρεπτική και διατμητική δυσκαμψία.

Το FrontISTR παρέχει ευθύγραμμο στοιχείο δοκού 2 κόμβων (ID στοιχείου 611) και υβριδικό στοιχείο στερεού-δοκού τετραεδρικού τύπου 4 κόμβων που αναπαρίσταται με 3 κόμβους (641, για μικτούς βαθμούς ελευθερίας).

Σχετικά θέματα¶

Διατύπωση τρισδιάστατων στερεών στοιχείων — Σύγκριση με την τυπική διατύπωση
Σύστημα αρίθμησης στοιχείων και βιβλιοθήκη συναρτήσεων σχήματος — ID τύπων στοιχείων
Βιβλιοθήκη στοιχείων (λειτουργίες) — Οδηγίες επιλογής κάθε στοιχείου