Αριθμητική ολοκλήρωση¶

Τα διανύσματα εσωτερικών δυνάμεων στοιχείου \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) και το μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου \(\boldsymbol{K}^e\) που προκύπτουν στη Διακριτοποίηση του εικονικού έργου εσωτερικών δυνάμεων και στο Εικονικό έργο εξωτερικών δυνάμεων και συναρμολόγηση της καθολικής εξίσωσης έχουν τη μορφή ολοκληρωμάτων πάνω στην περιοχή στοιχείου \(\Omega^e\) ή \(\Omega^e_0\). Το FrontISTR τα υπολογίζει αριθμητικά με ολοκλήρωση Gauss.

Ολοκλήρωση Gauss και αλλαγή μεταβλητών¶

Η ολοκλήρωση Gauss προσεγγίζει ένα ολοκλήρωμα στην περιοχή αναφοράς \(\Xi\) με γραμμικό συνδυασμό των τιμών της ολοκληρωτέας συνάρτησης στα σημεία ολοκλήρωσης \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) και των βαρών \(w_i\). Εφαρμόζοντάς την στην περιοχή στοιχείου \(\Omega^e\) πραγματοποιείται αλλαγή μεταβλητών μέσω της απεικόνισης \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), οπότε

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

όπου \(n_q\) είναι ο αριθμός σημείων ολοκλήρωσης και \(J_{\xi_i}\) η ορίζουσα του Ιακωβιανού μετασχηματισμού. Η περιοχή αναφοράς \(\Xi\) ορίζεται για κάθε τύπο στοιχείου (για ένα εξαεδρικό στοιχείο, \([-1,1]^3\)· για τρίγωνα, τετράεδρα και σφήνες, τα αντίστοιχα σχήματα αναφοράς), ενώ τα σημεία ολοκλήρωσης \(\boldsymbol{\xi}_i\) και τα βάρη \(w_i\) δίνονται σε αριθμητικούς πίνακες. Τα επιφανειακά ολοκληρώματα αντιμετωπίζονται με την ίδια μορφή, μέσω απεικόνισης μιας έδρας του στοιχείου από δισδιάστατη περιοχή αναφοράς.

Παρακάτω παρουσιάζονται αντιπροσωπευτικοί αριθμοί σημείων ολοκλήρωσης που χρησιμοποιεί το FrontISTR (για την αντιστοίχιση με τους τύπους στοιχείων, βλ. Σχήμα αρίθμησης στοιχείων και βιβλιοθήκη συναρτήσεων σχήματος).

Τύπος στοιχείου	Κανόνας ολοκλήρωσης	Αριθμός σημείων ολοκλήρωσης
Τετράεδρο 4 κόμβων (`tet4n`)	Κανόνας 1 σημείου	1
Τετράεδρο 10 κόμβων (`tet10n`)	Κανόνας 4 σημείων	4
Τριγωνικό πρίσμα 6 κόμβων (`prism6n`)	Κανόνας 2 σημείων	2
Τριγωνικό πρίσμα 15 κόμβων (`prism15n`)	Κανόνας 9 σημείων	9
Εξάεδρο 8 κόμβων (`hex8n`)	Gauss-Legendre 2×2×2	8
Εξάεδρο 20 κόμβων (`hex20n`)	Gauss-Legendre 3×3×3	27
Τετράπλευρο 4 κόμβων (`quad4n`)	Gauss-Legendre 2×2	4
Τετράπλευρο 8 κόμβων (`quad8n`)	Gauss-Legendre 3×3	9
Τρίγωνο 3 κόμβων (`tri3n`)	Κανόνας 1 σημείου	1
Τρίγωνο 6 κόμβων (`tri6n`)	Κανόνας 3 σημείων	3

Για εξαεδρικά, τετράπλευρα και γραμμικά στοιχεία χρησιμοποιούνται τανυστικά γινόμενα του κανόνα Gauss-Legendre σε κάθε διεύθυνση συντεταγμένων. Για τρίγωνα, τετράεδρα και τριγωνικά πρίσματα χρησιμοποιούνται ειδικοί κανόνες κατάλληλοι για γεωμετρίες τύπου simplex (διατάξεις σημείων που ολοκληρώνουν ακριβώς πολυώνυμα πάνω στο ίδιο το τρίγωνο).

Εφαρμογή στην ολοκλήρωση στοιχείων¶

Στην ολοκλήρωση στοιχείων, οι φυσικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{r}\) χρησιμοποιούνται ως συντεταγμένες της περιοχής αναφοράς (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), και η απεικόνιση στις φυσικές συντεταγμένες δίνεται από παρεμβολή των κομβικών συντεταγμένων με τις συναρτήσεις σχήματος. Ανάλογα με την επιλογή της διαμόρφωσης αναφοράς (Πλαίσιο αυξητικής ανάλυσης), χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες διατυπώσεις.

Μέθοδος Total Lagrangian (ολοκλήρωση στη διαμόρφωση αναφοράς \(\Omega^e_0\)): η απεικόνιση και το Ιακωβιανό είναι

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

και η εσωτερική δύναμη στοιχείου και το μητρώο δυσκαμψίας προσεγγίζονται ως

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Όλα τα \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) αξιολογούνται στο σημείο ολοκλήρωσης \(\boldsymbol{r}_i\).

Μέθοδος Updated Lagrangian (ολοκλήρωση στην τρέχουσα διαμόρφωση \(\Omega^e\)): η απεικόνιση και το Ιακωβιανό είναι

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

και ως προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο διατυπώσεων είναι αν οι κομβικές συντεταγμένες που δίνονται στην απεικόνιση είναι \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ή \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)· τα σημεία ολοκλήρωσης, τα βάρη και η δομή του βρόχου στα σημεία ολοκλήρωσης είναι κοινά.

Πλήρης και μειωμένη ολοκλήρωση¶

Η ολοκλήρωση με επαρκή αριθμό σημείων ώστε να ολοκληρώνεται ακριβώς ο πολυωνυμικός βαθμός της ολοκληρωτέας συνάρτησης ονομάζεται πλήρης ολοκλήρωση, ενώ η ολοκλήρωση με ένα επίπεδο λιγότερα σημεία ολοκλήρωσης ονομάζεται μειωμένη ολοκλήρωση. Η μειωμένη ολοκλήρωση χρησιμοποιείται για την άμβλυνση του κλειδώματος διάτμησης και του ογκομετρικού κλειδώματος, αλλά απαιτεί αντιμετώπιση ανεπιθύμητων τρόπων παραμόρφωσης, όπως οι τρόποι hourglass. Ο αριθμός σημείων ολοκλήρωσης για κάθε τύπο στοιχείου και η επιλογή μεταξύ πλήρους και μειωμένης ολοκλήρωσης καλύπτονται στο Σχήμα αρίθμησης στοιχείων και βιβλιοθήκη συναρτήσεων σχήματος και στις επόμενες ενότητες, καθώς και στις Προηγμένες διατυπώσεις στοιχείων.

Σχετικά θέματα¶

Χωρικές παράγωγοι των συναρτήσεων σχήματος — Υπολογισμός του Ιακωβιανού
Διακριτοποίηση του εικονικού έργου εσωτερικών δυνάμεων — Μεγέθη που αξιολογούνται με αριθμητική ολοκλήρωση
Προηγμένες διατυπώσεις στοιχείων — Χρήση μειωμένης ολοκλήρωσης