Μετάβαση στο περιεχόμενο

Εικονικό έργο εξωτερικών δυνάμεων και συναρμολόγηση της καθολικής εξίσωσης

Στη Διακριτοποίηση του εικονικού έργου εσωτερικών δυνάμεων, το αριστερό μέλος της ασθενούς μορφής αναγάχθηκε στο διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων στοιχείου \(\boldsymbol{q}^e\) (μέθοδος UL) ή \(\boldsymbol{Q}^e\) (μέθοδος TL). Το κεφάλαιο αυτό εισάγει το διάνυσμα κομβικών εξωτερικών δυνάμεων στοιχείου \(\boldsymbol{F}^e\) από το εικονικό έργο των εξωτερικών δυνάμεων και στη συνέχεια εφαρμόζει τη λειτουργία συναρμολόγησης, η οποία αναδιατάσσει και αθροίζει τα κομβικά μεγέθη των στοιχείων σύμφωνα με τους καθολικούς αριθμούς κόμβων, ώστε να προκύψει τελικά το μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων ως προς τις κομβικές μετατοπίσεις που επιλύεται στη μη γραμμική δομική ανάλυση του FrontISTR.

Διάσπαση ανά στοιχείο του εικονικού έργου των εξωτερικών δυνάμεων

Το δεξί μέλος της Αρχής των εικονικών έργων μπορεί να διασπαστεί ανά στοιχείο στο εικονικό έργο των εξωτερικών δυνάμεων, το οποίο αποτελείται από δυνάμεις όγκου και προδιαγεγραμμένες επιφανειακές έλξεις στα μηχανικά σύνορα. Για να γραφεί σε μητρωική μορφή η παρεμβολή μετατόπισης που εισάγεται στις Συναρτήσεις σχήματος και προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων, ορίζεται το μπλοκ \(\alpha\) \(N_\alpha^e\) με τη συνάρτηση σχήματος \(d \times d\) του κόμβου \(\boldsymbol{N}_\alpha\) στη διαγώνιο και σχηματίζεται \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), έτσι ώστε \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Αντικαθιστώντας το στο εικονικό έργο των εξωτερικών δυνάμεων που γράφεται στη διαμόρφωση αναφοράς, προκύπτει

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

όπου το διάνυσμα κομβικών εξωτερικών δυνάμεων στοιχείου διατάσσεται ως \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Έτσι, το εικονικό έργο των εξωτερικών δυνάμεων ανάγεται στην ίδια μορφή «κομβικό διάνυσμα στοιχείου × συνάρτηση δοκιμής» με την πλευρά των εσωτερικών δυνάμεων (όταν γράφεται στην τρέχουσα διαμόρφωση, προκύπτει η ίδια μορφή με τις αντικαταστάσεις \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) και \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Συναρμολόγηση κομβικών μεγεθών στοιχείου

Τα κομβικά μεγέθη \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) που προκύπτουν για κάθε στοιχείο αθροίζονται σε καθολικά διανύσματα διατεταγμένα κατά καθολικό αριθμό κόμβου. Έστω ότι ο καθολικός αριθμός κόμβου που αντιστοιχεί στον τοπικό αριθμό κόμβου \(\alpha\) του στοιχείου \(\Omega^e\) είναι

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Τότε ένα κομβικό μέγεθος στοιχείου ταυτίζεται με την αντίστοιχη συνιστώσα του καθολικού κομβικού μεγέθους (για παράδειγμα, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Επειδή ένας κόμβος \(i_g\) συνήθως ανήκει σε πολλά στοιχεία, ορίζεται το σύνολο των ζευγών \((e, \alpha)\) των οποίων ο καθολικός αριθμός κόμβου είναι \(i_g\) ως

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Με χρήση αυτού του συνόλου, η άθροιση γράφεται ξανά ως \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), δίνοντας την κομβική εσωτερική δύναμη και το καθολικό διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων για όλους τους \(n_g\) κόμβους:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Εδώ, \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) είναι η συνισταμένη των κομβικών εσωτερικών δυνάμεων των στοιχείων που δρουν στον κόμβο \(i_g\) και είναι \(\boldsymbol{0}\) όταν δεν δρα εξωτερική δύναμη και ικανοποιείται η ισορροπία. Η ίδια διαδικασία στη μέθοδο UL δίνει \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\)· επειδή οι αριθμητικές τιμές τους ικανοποιούν \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), παρακάτω χρησιμοποιείται ο συμβολισμός \(\boldsymbol{Q}\) εκτός εάν απαιτείται διάκριση. Το καθολικό διάνυσμα εξωτερικών δυνάμεων \(\boldsymbol{F}\) προκύπτει με την ίδια συσσώρευση.

Στην υλοποίηση, το σύνολο \(\mathcal{E}(i_g)\) δεν κατασκευάζεται ρητά· αντίθετα, οι συνεισφορές προστίθενται στις αντίστοιχες συνιστώσες μέσα στον βρόχο των στοιχείων.

Αρχικοποίηση του καθολικού διανύσματος εσωτερικών δυνάμεων Q στο 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
για e = 1 έως (αριθμός στοιχείων)
    για α = 1 έως n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    τέλος για
τέλος για

Το καθολικό διάνυσμα εξωτερικών δυνάμεων \(\boldsymbol{F}\) κατασκευάζεται με την ίδια διαδικασία. Αυτή η λειτουργία προσθήκης και αποθήκευσης κομβικών μεγεθών στοιχείων σε διανύσματα και μητρώα αριθμημένα κατά καθολικό αριθμό κόμβου ονομάζεται συναρμολόγηση. Για τανυστές δεύτερης τάξης που συνδέονται με δύο αριθμούς κόμβων (όπως τα μητρώα δυσκαμψίας), η ίδια μορφή συναρμολόγησης λαμβάνεται με χρήση του συνόλου \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{και}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (για τη συγκεκριμένη κατασκευή, βλ. Εφαπτομενικό μητρώο δυσκαμψίας).

Μη γραμμικές εξισώσεις προς επίλυση

Αντικαθιστώντας τις συναρμολογημένες εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις στην Αρχή των εικονικών έργων και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση δοκιμής \(\delta\boldsymbol{u}^n\) που ικανοποιεί τις γεωμετρικές οριακές συνθήκες, προκύπτει

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Στο πλαίσιο της αυξητικής ανάλυσης (Πλαίσιο αυξητικής ανάλυσης), επαναφέρεται ο χρονικός δείκτης \(_{n+1}\) και παραλείπεται ο εκθέτης \(^n\) που δηλώνει το καθολικό κομβικό διάνυσμα. Τότε η εξίσωση προς επίλυση είναι

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Έτσι, το διακριτοποιημένο πρόβλημα συνοριακών τιμών για την εύρεση της κομβικής μετατόπισης \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) τη χρονική στιγμή \(t_{n+1}\) ανάγεται στην επίλυση αυτής της μη γραμμικής εξίσωσης ως προς τη μετατόπιση μαζί με τις γεωμετρικές οριακές συνθήκες. Η γραμμικοποίηση της εξίσωσης και η κατασκευή του εφαπτομενικού μητρώου δυσκαμψίας περιγράφονται στο Εφαπτομενικό μητρώο δυσκαμψίας, ενώ η επαναληπτική μέθοδος επίλυσης στη Μέθοδο Newton-Raphson.

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status