Μετάβαση στο περιεχόμενο

Διακριτοποίηση του εικονικού έργου εσωτερικών δυνάμεων

Η εξίσωση εικονικού έργου στη χρονική στιγμή \(t + \Delta t\) που παρουσιάζεται στο Πλαίσιο αυξητικής ανάλυσης λαμβάνει δύο μορφές, Updated Lagrange και Total Lagrange, ανάλογα με την επιλογή της διαμόρφωσης αναφοράς. Στο κεφάλαιο αυτό χρησιμοποιείται η προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων που εισάγεται στις Συναρτήσεις σχήματος και προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων και στις Χωρικές παραγώγους των συναρτήσεων σχήματος, ώστε να διακριτοποιηθεί χωρικά το εικονικό έργο εσωτερικών δυνάμεων και των δύο διατυπώσεων και να προκύψουν τα διανύσματα εσωτερικών δυνάμεων στοιχείου \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) και \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Για το στοιχείο \(e\), έστω ότι οι κόμβοι του είναι \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), οι μετατοπίσεις τους \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), και το διάνυσμα κομβικών μετατοπίσεων του στοιχείου διατάσσεται ως \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Η εικονική μετατόπιση \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ορίζεται με την ίδια σειρά. Η μετατόπιση στο εσωτερικό του στοιχείου παρεμβάλλεται με τις συναρτήσεις σχήματος ως \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Εικονικό έργο εσωτερικών δυνάμεων στη διατύπωση Updated Lagrange

Στη διατύπωση Updated Lagrange, στη χρονική στιγμή \(t\) χρησιμοποιείται ως διαμόρφωση αναφοράς η τρέχουσα διαμόρφωση \({}^{t}\Omega\), και το εικονικό έργο εσωτερικών δυνάμεων γράφεται ως προς την τάση Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) και το γραμμικό μέρος της παραμόρφωσης Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\):

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Κάθε συνιστώσα του \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) μπορεί να εκφραστεί, με χρήση των συντεταγμένων της τρέχουσας διαμόρφωσης \(\boldsymbol{x}\), ως γραμμικός συνδυασμός των παραγώγων συναρτήσεων σχήματος \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) και των κομβικών εικονικών μετατοπίσεων \(\delta u^e_{i\alpha}\). Σε σημειογραφία Voigt, αυτό συγκεντρώνεται ως

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Το κομβικό μπλοκ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) σχηματίζεται διατάσσοντας τα \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) σύμφωνα με τη σύμβαση Voigt σε μητρώο \(6 \times 3\), και το \(\boldsymbol{B}_L\) είναι το μητρώο παραμόρφωσης-μετατόπισης για τη διατύπωση UL. Αντικαθιστώντας το στο εικονικό έργο εσωτερικών δυνάμεων και βγάζοντας ως κοινό παράγοντα το \(\delta \boldsymbol{u}^e\), προκύπτει

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Για το \(\boldsymbol{q}^e\), το κομβικό μπλοκ \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) είναι η εσωτερική δύναμη του στοιχείου \(\Omega^e\) που δρα στον κόμβο \(\alpha\) του στοιχείου.

Εικονικό έργο εσωτερικών δυνάμεων στη διατύπωση Total Lagrange

Στη διατύπωση Total Lagrange, η αρχική διαμόρφωση \(\Omega_0\) χρησιμοποιείται ως διαμόρφωση αναφοράς και το εικονικό έργο εσωτερικών δυνάμεων γράφεται ως προς τη δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) και την παραμόρφωση Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Η μεταβολή \(\delta \boldsymbol{E}\) διαχωρίζεται σε έναν όρο γραμμικό ως προς την εικονική μετατόπιση και σε έναν μη γραμμικό όρο που περιλαμβάνει γινόμενα με την τρέχουσα βαθμίδα μετατόπισης \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Ο γραμμικός όρος μπορεί να γραφεί εφαρμόζοντας στα \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) τον ίδιο κανόνα διάταξης με τη διατύπωση UL, σχηματίζοντας το κομβικό μπλοκ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Λόγω της διαφορετικής διαμόρφωσης αναφοράς, μόνο οι παράγωγοι που αποτελούν το μητρώο αλλάζουν από \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) σε \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)· χρησιμοποιείται το ίδιο σύμβολο όπως στη διατύπωση UL. Ο μη γραμμικός όρος χρησιμοποιεί γινόμενα της τρέχουσας βαθμίδας μετατόπισης \(\partial u_k/\partial X_j\) και του \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), διατεταγμένα σύμφωνα με τη σύμβαση Voigt ώστε να σχηματίζουν το κομβικό μπλοκ \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Επομένως, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), και το \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) είναι το μητρώο παραμόρφωσης-μετατόπισης για τη διατύπωση TL. Αντικαθιστώντας το στο εικονικό έργο εσωτερικών δυνάμεων προκύπτει

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Το κομβικό μπλοκ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) είναι η εσωτερική δύναμη του στοιχείου \(\Omega^e_0\) που δρα στον κόμβο \(\alpha\) του στοιχείου.

Αντιστοιχία UL/TL και υπολογιστική ροή

Τα διανύσματα εσωτερικών δυνάμεων στοιχείου στις διατυπώσεις Updated Lagrange και Total Lagrange αντιστοιχούν ως εξής.

Στοιχείο Διατύπωση Updated Lagrange Διατύπωση Total Lagrange
Διαμόρφωση αναφοράς Τρέχουσα διαμόρφωση \({}^{t}\Omega^e\) Αρχική διαμόρφωση \(\Omega^e_0\)
Τανυστής τάσης Τάση Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Δεύτερη τάση PK \(\boldsymbol{S}\)
Μεταβολή παραμόρφωσης \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Μητρώο B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Εσωτερική δύναμη στοιχείου \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Και οι δύο επεξεργάζονται με την ίδια διαδικασία: κατασκευάζεται το \(\boldsymbol{B}_L\) από τις χωρικές παραγώγους των συναρτήσεων σχήματος· στη διατύπωση TL κατασκευάζεται και προστίθεται το \(\boldsymbol{B}_{NL}\) από την τρέχουσα βαθμίδα μετατόπισης· η τάση (\(\boldsymbol{\sigma}\) ή \(\boldsymbol{S}\)) ενημερώνεται σύμφωνα με τον καταστατικό νόμο· και τα \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ή \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) ολοκληρώνονται αριθμητικά πάνω στην περιοχή στοιχείου στα σημεία ολοκλήρωσης (Αριθμητική ολοκλήρωση). Εκτός από την αλλαγή της διαμόρφωσης αναφοράς (κομβικές συντεταγμένες και κατασκευή του μητρώου \(\boldsymbol{B}\)) και την αντικατάσταση του τανυστή τάσης, η επεξεργασία είναι κοινή, γι' αυτό το FrontISTR υλοποιεί τους υπολογισμούς εσωτερικών δυνάμεων και για τις δύο διατυπώσεις με κοινές υπορουτίνες. Η συναρμολόγηση των διανυσμάτων εσωτερικών δυνάμεων στοιχείου \(\boldsymbol{q}^e\) και \(\boldsymbol{Q}^e\) στο καθολικό διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων καλύπτεται στο Εικονικό έργο εξωτερικών δυνάμεων και συναρμολόγηση της καθολικής εξίσωσης.

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status