Μετάβαση στο περιεχόμενο

Χωρικές παράγωγοι των συναρτήσεων σχήματος

Οι συναρτήσεις σχήματος \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) που εισήχθησαν στις Συναρτήσεις σχήματος και προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων δίνονται ως συναρτήσεις των φυσικών συντεταγμένων \(\boldsymbol{r}\), οι οποίες είναι οι τοπικές συντεταγμένες ενός στοιχείου. Από την άλλη, μέσω της σχέσης παραμόρφωσης-μετατόπισης, τα ολοκληρώματα στην ασθενή μορφή περιέχουν μερικές παραγώγους ως προς τις φυσικές συντεταγμένες (τη διαμόρφωση αναφοράς \(\boldsymbol{X}\) ή την τρέχουσα διαμόρφωση \(\boldsymbol{x}\)), δηλαδή \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) ή \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Η ενότητα αυτή οργανώνει τη διαδικασία υπολογισμού αυτών των χωρικών παραγώγων των συναρτήσεων σχήματος από τις κομβικές συντεταγμένες του στοιχείου και τις παραγώγους ως προς τις φυσικές συντεταγμένες.

Έκφραση των χωρικών παραγώγων με τον κανόνα αλυσίδας

Εφαρμόζοντας τον κανόνα αλυσίδας στον τύπο παρεμβολής \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (προηγούμενη ενότητα) και χρησιμοποιώντας τον Ιακωβιανό πίνακα \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) της απεικόνισης από τις φυσικές συντεταγμένες στις χωρικές συντεταγμένες, προκύπτει

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Εδώ, τα \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) και \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) είναι πίνακες στους οποίους η γραμμή \(\alpha\) παριστά το διάνυσμα μερικών παραγώγων για τον κόμβο \(\alpha\)· καθένας είναι πίνακας \(n_e \times 3\).

Κατασκευή του Ιακωβιανού πίνακα

Παραγωγίζοντας τον τύπο παρεμβολής ως προς \(\boldsymbol{r}\) προκύπτει

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Έτσι, ο Ιακωβιανός πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί απευθείας από τις κομβικές συντεταγμένες του στοιχείου \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) και τις παραγώγους ως προς τις φυσικές συντεταγμένες \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Οι παράγωγοι ως προς τις φυσικές συντεταγμένες καθορίζονται από τη συναρτησιακή μορφή των συναρτήσεων σχήματος και είναι υλοποιημένες εκ των προτέρων για κάθε τύπο στοιχείου.

Η ορίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) χρησιμοποιείται στην αριθμητική ολοκλήρωση για τον μετασχηματισμό του στοιχείου όγκου ως \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Εάν η ορίζουσα γίνει \(0\), το στοιχείο είναι εκφυλισμένο και ο υπολογισμός αποτυγχάνει.

Ροή υπολογισμού

Από την παραπάνω παραγωγή, ο υπολογισμός των χωρικών παραγώγων \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) μπορεί να χωριστεί στα ακόλουθα τέσσερα στάδια.

  1. Υπολογισμός παραγώγων ως προς τις φυσικές συντεταγμένες: Χρησιμοποιώντας ως είσοδο τον τύπο στοιχείου και τις φυσικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{r}\) του σημείου αξιολόγησης, υπολογίστε τον πίνακα παραγώγων ως προς τις φυσικές συντεταγμένες \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Επειδή η συναρτησιακή μορφή των συναρτήσεων σχήματος διαφέρει ανά τύπο στοιχείου, η επεξεργασία διακλαδίζεται ανάλογα με τον τύπο στοιχείου.
  2. Υπολογισμός του Ιακωβιανού πίνακα: Από τις κομβικές συντεταγμένες του στοιχείου \(\boldsymbol{X}^e\) και το \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), συναρμολογήστε τον Ιακωβιανό πίνακα \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) χρησιμοποιώντας την εξίσωση της προηγούμενης ενότητας.
  3. Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα και της ορίζουσας: Υπολογίστε τον αντίστροφο \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) και την ορίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα. Η ορίζουσα χρησιμοποιείται στη στάθμιση για την αριθμητική ολοκλήρωση.
  4. Υπολογισμός χωρικών παραγώγων: Από τα \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) και \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\), υπολογίστε τις χωρικές παραγώγους \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ως το γινόμενό τους.

Αυτά τα τέσσερα στάδια διακλαδίζονται ανάλογα με τον τύπο στοιχείου και τη χωρική διάσταση (δύο ή τρεις διαστάσεις), αλλά η συνολική ροή είναι κοινή.

Κοινή αντιμετώπιση της διαμόρφωσης αναφοράς και της τρέχουσας διαμόρφωσης

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί επίσης να εφαρμοστεί απλώς αντικαθιστώντας το \(\boldsymbol{X}^e\) με τις τρέχουσες κομβικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), ώστε να ληφθούν οι χωρικές παράγωγοι \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) στην τρέχουσα διαμόρφωση. Έτσι, η ίδια διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί από κοινού στις διατυπώσεις Total Lagrangian και Updated Lagrangian, αλλάζοντας μόνο τις κομβικές συντεταγμένες εισόδου.

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status