Ερπυσμός¶

Το κεφάλαιο αυτό περιγράφει τον καταστατικό νόμο ερπυσμού που χρησιμοποιεί το FrontISTR. Για λεπτομέρειες σχετικά με την επιλογή και τις προδιαγραφές εισόδου, βλ. την ενότητα λειτουργιών 03_material.

Φαινόμενο ερπυσμού και προσθετική διάσπαση της παραμόρφωσης¶

Η χρονικά εξαρτώμενη μετατόπιση υπό συνθήκη σταθερής τάσης είναι φαινόμενο που ονομάζεται «ερπυσμός».

Η ιξωδοελαστική συμπεριφορά που περιγράφηκε παραπάνω μπορεί επίσης να θεωρηθεί είδος γραμμικού φαινομένου ερπυσμού. Εδώ περιγράφονται ορισμένες μη γραμμικές συμπεριφορές ερπυσμού. Μια συνήθης προσέγγιση είναι η διατύπωση της καταστατικής σχέσης με προσθήκη αυτής της συμπεριφοράς στην παραμόρφωση που εμφανίζεται στιγμιαία, και ο ορισμός της παραμόρφωσης που συσσωρεύεται όσο συνεχίζεται ένα δεδομένο σταθερό φορτίο ως παραμόρφωση ερπυσμού \(\varepsilon^c\). Μια καταστατική σχέση που περιλαμβάνει ερπυσμό εκφράζεται συνήθως με χρήση του ρυθμού παραμόρφωσης ερπυσμού \(\dot{\varepsilon}^c\), ο οποίος ορίζεται ως συνάρτηση της τάσης και της συνολικής παραμόρφωσης ερπυσμού.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Εάν η παραμόρφωση που εμφανίζεται στιγμιαία είναι η ελαστική παραμόρφωση \(\varepsilon^e\), η συνολική παραμόρφωση εκφράζεται ως το ακόλουθο άθροισμα που περιλαμβάνει την παραμόρφωση ερπυσμού.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

όπου

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) είναι ο τανυστής ελαστικότητας).

Νόμος Norton¶

Ως συγκεκριμένο καταστατικό νόμο ερπυσμού, το FrontISTR χρησιμοποιεί το ακόλουθο μοντέλο Norton. Σε αυτόν τον καταστατικό νόμο, ο ισοδύναμος ρυθμός παραμόρφωσης ερπυσμού \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) εκφράζεται ως συνάρτηση της τάσης von Mises \(q\) και του χρόνου \(t\) ως εξής.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Εδώ, τα \(A\), \(m\) και \(n\) είναι σταθερές υλικού.

Χρονική ολοκλήρωση και ενημέρωση τάσης¶

Όπως και στα πλαστικά υλικά, για έναν καταστατικό νόμο που εμφανίζει ερπυσμό πρέπει να καθοριστεί αριθμητική μέθοδος χρονικής ολοκλήρωσης. Η καταστατική σχέση όταν λαμβάνεται υπόψη ο ερπυσμός είναι

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

όπου \(\beta_{n+\theta}\) είναι

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Στη συνέχεια, η αύξηση παραμόρφωσης ερπυσμού \(\Delta \varepsilon^c\) ορίζεται από την ακόλουθη απλουστευμένη μη γραμμική εξίσωση:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

η οποία τίθεται ίση με μηδέν.

Στην επανάληψη Newton-Raphson, λαμβάνοντας \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) ως αρχική τάση και χρησιμοποιώντας την αύξηση παραμόρφωσης που προκύπτει από τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων, η επαναληπτική λύση και η αύξηση δίνονται από

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

όπου

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

και, όταν η επανάληψη συνεχίζεται έως ότου το υπόλοιπο \(R\) γίνει \(\mathbf{0}\), χρησιμοποιούνται η τάση \(\sigma_{n+1}\) και το εφαπτομενικό μέτρο

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Σχετικά θέματα¶

Ιξωδοελαστικότητα — Ιξωδοελαστική συμπεριφορά που αντιστοιχεί σε γραμμικό ερπυσμό
Εφαπτομενικό μητρώο δυσκαμψίας — Εφαπτομενική δυσκαμψία για αυξητική ανάλυση που περιλαμβάνει ερπυσμό
Δεδομένα υλικού (λειτουργίες) — Καθορισμός παραμέτρων για το μοντέλο Norton