Υπερελαστικότητα¶

Το κεφάλαιο αυτό καλύπτει τους υπερελαστικούς καταστατικούς νόμους που υποστηρίζει το FrontISTR. Για λεπτομέρειες σχετικά με την επιλογή μοντέλου και τις προδιαγραφές εισόδου, βλ. την ενότητα λειτουργιών 03_material.

Φαινόμενο (αναστρέψιμη απόκριση μεγάλων παραμορφώσεων)¶

TBD (θα αναπτυχθεί σε πλήρες κείμενο στην επόμενη φάση).

Πλαίσιο καταστατικού νόμου¶

Για ένα ισότροπο υπερελαστικό υλικό, η ελαστική δυναμική ενέργεια προκύπτει από ισότροπη απόκριση με αφετηρία την αρχική κατάσταση χωρίς τάσεις και μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση των κύριων αναλλοίωτων \((I_1, I_2, I_3)\) του δεξιού τανυστή παραμόρφωσης Cauchy-Green \(C\), ή των κύριων αναλλοίωτων \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) του τανυστή παραμόρφωσης από τον οποίο έχει αφαιρεθεί η ογκομετρική μεταβολή, δηλαδή ως \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) ή \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Η καταστατική εξίσωση ενός υπερελαστικού υλικού ορίζεται από τη σχέση μεταξύ της δεύτερης τάσης Piola-Kirchhoff και της παραμόρφωσης Green-Lagrange, και για την ανάλυση της παραμόρφωσής του εφαρμόζεται η μέθοδος Total Lagrange.

Αφού είναι γνωστή η ελαστική δυναμική ενέργεια \(W\), η δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff και η σχέση τάσης-παραμόρφωσης μπορούν να υπολογιστούν ως εξής.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Οι ελαστικές δυναμικές ενέργειες \(W\) των υπερελαστικών μοντέλων που υιοθετεί το FrontISTR παρατίθενται παρακάτω.

Υπερελαστικό μοντέλο Neo-Hookean¶

Το υπερελαστικό μοντέλο Neo-Hookean επεκτείνει έναν ισότροπο γραμμικό νόμο (νόμο του Hooke), ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα μεγάλων παραμορφώσεων. Το ελαστικό δυναμικό του είναι το ακόλουθο.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Εδώ, τα \(C_{10}\) και \(D\) είναι σταθερές υλικού.

Υπερελαστικό μοντέλο Mooney-Rivlin¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Εδώ, τα \(C_{10}\), \(C_{01}\) και \(D\) είναι σταθερές υλικού.

Ανισότροπο υπερελαστικό μοντέλο Mooney-Rivlin¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Εδώ, τα \(C_{10}\), \(C_{01}\) και \(D\) είναι σταθερές υλικού κοινές με το ισότροπο μοντέλο, ενώ τα \(C_{42}\) και \(C_{43}\) είναι σταθερές υλικού ειδικές για την ανισοτροπία.

Υπερελαστικό μοντέλο Arruda-Boyce¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Εδώ, τα \(\mu_0\), \(\lambda_m\) και \(D\) είναι σταθερές υλικού.

Σχετικά θέματα¶

Γραμμική ελαστικότητα — Ελαστική απόκριση υπό μικρές παραμορφώσεις
Ελαστοπλαστικότητα — Καταστατικοί νόμοι που περιλαμβάνουν μη αναστρέψιμη παραμόρφωση
Δεδομένα υλικού (λειτουργίες) — Επιλογές μοντέλων και επιλογή