Μετάβαση στο περιεχόμενο

Γραμμική ελαστικότητα

Αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζει τον καταστατικό νόμο (νόμο του Hooke) για γραμμικά ελαστικά υλικά. Για λεπτομέρειες σχετικά με την επιλογή μοντέλου και τις προδιαγραφές εισόδου, ανατρέξτε στην ενότητα λειτουργιών 03_material.

Φαινόμενο (γραμμική ελαστική απόκριση)

Ένα γραμμικά ελαστικό σώμα είναι υλικό το οποίο, σε περιοχή όπου η παραμόρφωση υπό φόρτιση είναι επαρκώς μικρή, παρουσιάζει γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης και αναστρέψιμη απόκριση ανεξάρτητη από το ιστορικό, κατά την οποία όλη η παραμόρφωση επανέρχεται στην αρχική της κατάσταση μετά την αποφόρτιση. Σε αντίθεση με την πλαστικότητα ή τον ερπυσμό, δεν διαθέτει εσωτερικές μεταβλητές που να παριστάνουν την κατάσταση (όπως πλαστική ή ιξώδη παραμόρφωση), και η τάση προσδιορίζεται μοναδικά μόνο από την τρέχουσα παραμόρφωση.

Στην περιοχή μικρών παραμορφώσεων χρησιμοποιούνται η τάση Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) και η απειροστή παραμόρφωση \(\boldsymbol{\varepsilon}\)· στην περιοχή πεπερασμένων παραμορφώσεων (προβλήματα που περιλαμβάνουν μεγάλες περιστροφές αλλά η ίδια η παραμόρφωση είναι μικρή), χρησιμοποιούνται η δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) και η παραμόρφωση Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (υλικό St.Venant-Kirchhoff).

Καταστατικός νόμος

Ισότροπο γραμμικά ελαστικό υλικό

Στην περιοχή μικρών παραμορφώσεων, ο ισότροπος νόμος του Hooke εκφράζεται με τις σταθερές Lamé \(\lambda, \mu\) ως

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Σε μορφή συνιστωσών,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

και η διπλή συστολή με την παραμόρφωση δίνει \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Οι σταθερές Lamé συνδέονται με το μέτρο του Young \(E\) και τον λόγο Poisson \(\nu\) ως εξής:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Στη σημειογραφία Voigt, η σχέση μεταξύ του διανύσματος παραμόρφωσης \(\hat{\varepsilon}\) και του διανύσματος τάσης \(\hat{\sigma}\) γράφεται ως \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), και ο τρισδιάστατος πίνακας υλικού \(D\) είναι

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Αυτή η πινακική αναπαράσταση χρησιμοποιείται στην υλοποίηση.

Ορθότροπο γραμμικά ελαστικό υλικό

Για υλικά των οποίων οι ελαστικές σταθερές διαφέρουν ανά διεύθυνση κύριου άξονα, χρησιμοποιείται ορθότροπο μοντέλο με εννέα ανεξάρτητες σταθερές: τα μέτρα του Young στις διευθύνσεις των κύριων αξόνων \(E_1, E_2, E_3\), οι λόγοι Poisson μεταξύ των κύριων αξόνων \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) και τα μέτρα διάτμησης \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Για τη ρητή μορφή του πίνακα \(D\), ανατρέξτε στην καθιερωμένη βιβλιογραφία.

Περιοχή πεπερασμένων παραμορφώσεων: υλικό St.Venant-Kirchhoff

Για προβλήματα που περιλαμβάνουν μεγάλες περιστροφές αλλά η ίδια η παραμόρφωση είναι μικρή, χρησιμοποιείται το υλικό St.Venant-Kirchhoff ως γραμμικός ελαστικός νόμος που συνδέει τη δεύτερη τάση Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) με την παραμόρφωση Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Οι ορισμοί των σταθερών Lamé \(\lambda, \mu\) είναι ίδιοι με την περίπτωση μικρών παραμορφώσεων. Σημειώστε, ωστόσο, ότι επειδή διαφέρουν οι ορισμοί του ζεύγους τάσης-παραμόρφωσης, πρόκειται για διαφορετικό καταστατικό νόμο από τον νόμο του Hooke για μικρές παραμορφώσεις.

Υποελαστικό υλικό

Στη μέθοδο Updated Lagrange χρησιμοποιείται υποελαστικό υλικό που υιοθετεί τον γραμμικό ελαστικό νόμο μεταξύ του ρυθμού Jaumann του σχετικού τανυστή τάσης Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) και του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Και εδώ, ο ορισμός του \(\boldsymbol{C}\) ως προς τις σταθερές Lamé είναι ίδιος με τον παραπάνω, αλλά επειδή το ζεύγος τάσης-παραμόρφωσης διαφέρει, πρόκειται για διαφορετικό καταστατικό νόμο. Για λεπτομέρειες σχετικά με τον τρόπο ενημέρωσης του \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) μέσω της διαδικασίας χρονικής ολοκλήρωσης (προωθητική ολοκλήρωση Euler και προσέγγιση κεντρικών διαφορών), βλ. tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Αναγωγή για δισδιάστατη ανάλυση και στοιχεία κελύφους

Επίπεδη τάση (\(\sigma_{33} = 0\))

Για την επίπεδη τάση, που αναπαριστά φόρτιση λεπτών πλακών και κελυφών, θεωρείται ότι \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) και χρησιμοποιείται ο \(D\) με αλγεβρική απαλοιφή της εκτός επιπέδου συνιστώσας παραμόρφωσης \(\varepsilon_{33}\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Επίπεδη παραμόρφωση (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Για την επίπεδη παραμόρφωση, που αναπαριστά τη διατομή μιας μακριάς κατασκευής περιορισμένης κατά τη διεύθυνση του πάχους, θεωρείται ότι \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Αξονοσυμμετρική περίπτωση

Στην αξονοσυμμετρική ανάλυση, η οποία αντιμετωπίζει προβλήματα ομοιόμορφα κατά τη διεύθυνση \(\theta\) σε κυλινδρικές συντεταγμένες \((r, \theta, z)\), διατηρούνται οι τέσσερις συνιστώσες \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) και \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), και

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

προκύπτει.

Στοιχεία κελύφους (επίπεδη τάση + εγκάρσια διάτμηση)

Για τα στοιχεία κελύφους, η εντός επιπέδου τάση αντιμετωπίζεται ως επίπεδη τάση και, για τις συνιστώσες εγκάρσιας διατμητικής παραμόρφωσης \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), χρησιμοποιείται \(\kappa\, G\) με συντελεστή διόρθωσης διάτμησης \(\kappa\) (γενικά \(\kappa = 5/6\)). Για τη λεπτομερή διατύπωση κάθε στοιχείου, βλ. Προηγμένες διατυπώσεις στοιχείων. Η προδιαγραφή στην ενότητα λειτουργιών 03_material ότι «τα στοιχεία κελύφους υποστηρίζουν μόνο γραμμική ελαστικότητα» βασίζεται σε αυτή την απλοποίηση της αντιμετώπισης της εντός επιπέδου κατάστασης ως επίπεδης τάσης.

Εξάρτηση από τη θερμοκρασία

Το μέτρο του Young \(E\), ο λόγος Poisson \(\nu\) και ο συντελεστής γραμμικής διαστολής \(\alpha\) καθορίζονται γενικά ως συναρτήσεις της θερμοκρασίας \(T\). Στο FrontISTR, εισάγονται τιμές για μια πεπερασμένη ακολουθία σημείων θερμοκρασίας \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), και η τιμή στη θερμοκρασία \(T\) κατά τον υπολογισμό αξιολογείται με γραμμική παρεμβολή μεταξύ γειτονικών σημείων. Για θερμοκρασίες εκτός του εύρους (\(T < T_1\) ή \(T > T_n\)), χρησιμοποιείται για παρέκταση η τιμή του πλησιέστερου ακραίου σημείου, \(T_1\) ή \(T_n\) (σταθερή παρέκταση).

Για την εξάρτηση από τη θερμοκρασία των θερμικών ιδιοτήτων και των ιδιοτήτων θερμικής αγωγής (πυκνότητα, ειδική θερμότητα και θερμική αγωγιμότητα), βλ. Θερμικές ιδιότητες. Οι κανόνες παρεμβολής είναι κοινοί για αυτές τις ιδιότητες.

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status