Μετάβαση στο περιεχόμενο

Γραμμική ελαστική στατική ανάλυση (εισαγωγή)

Εδώ παρουσιάζεται η διατύπωση της ελαστικής στατικής ανάλυσης με βάση τη θεωρία μικρών παραμορφώσεων. Για τη σχέση τάσης–παραμόρφωσης θεωρείται γραμμική ελαστικότητα. Το κεφάλαιο αυτό έχει εισαγωγικό χαρακτήρα, ώστε να προσφέρει μια συνολική εικόνα της δομικής ανάλυσης με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων, και είναι διαμορφωμένο ώστε να διαβάζεται αυτοτελώς.

Για τη γενική θεωρία της αρχής των εικονικών έργων (τρέχουσα διαμόρφωση, αρχική διαμόρφωση και αναγωγή σε μικρές παραμορφώσεις), βλ. Αρχή των εικονικών έργων, για λεπτομέρειες του γραμμικού ελαστικού καταστατικού νόμου βλ. Γραμμική ελαστικότητα, για τις συμβάσεις τανυστικής σημειογραφίας και σημειογραφίας Voigt βλ. Τανυστική σημειογραφία και μαθηματικά θεμέλια, για τη γενική διατύπωση πεπερασμένων παραμορφώσεων βλ. Κίνηση, παραμόρφωση και παραμορφώσεις, και για τις μεθόδους επίλυσης μη γραμμικών προβλημάτων βλ. Εφαπτομενικό μητρώο δυσκαμψίας.

Βασικές εξισώσεις

Το πρόβλημα συνοριακών τιμών της μηχανικής στερεού υπό τις παραδοχές μικρών παραμορφώσεων και γραμμικής ελαστικότητας αποτελείται από την εξίσωση ισορροπίας, τη μηχανική οριακή συνθήκη και τη γεωμετρική οριακή συνθήκη (ουσιώδη οριακή συνθήκη) (βλ. Σχήμα 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{στο} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{στο} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{στο} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

όπου \(\boldsymbol{\sigma}\) είναι η τάση Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) η δύναμη όγκου ανά μονάδα όγκου, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) η επιφανειακή έλξη (προδιαγεγραμμένη τιμή), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) η προδιαγεγραμμένη μετατόπιση, και \(S_t, S_u\) τα μηχανικά και γεωμετρικά σύνορα, αντίστοιχα.

Πρόβλημα συνοριακών τιμών στη μηχανική στερεού (πρόβλημα μικρών παραμορφώσεων)

Σχήμα 2.1.1 Πρόβλημα συνοριακών τιμών στη μηχανική στερεού (πρόβλημα μικρών παραμορφώσεων)

Η σχέση παραμόρφωσης–μετατόπισης, με χρήση του τελεστή συμμετρικής βαθμίδας, είναι

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

και ο γραμμικός ελαστικός καταστατικός νόμος είναι

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

όπου \(\boldsymbol{C}\) είναι ο ελαστικός τανυστής τέταρτης τάξης.

Αρχή των εικονικών έργων

Η γενική μορφή της αρχής των εικονικών έργων (διατύπωση στην τρέχουσα διαμόρφωση, διατύπωση στην αρχική διαμόρφωση και αναγωγή σε μικρές παραμορφώσεις) συγκεντρώνεται στην Αρχή των εικονικών έργων. Υπό τις παραδοχές μικρών παραμορφώσεων και γραμμικής ελαστικότητας, η ασθενής μορφή είναι

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{στο} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

και, αντικαθιστώντας την καταστατική εξίσωση \eqref{eq:2.1.5} και γράφοντας στη σημειογραφία Voigt \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), προκύπτει η μορφή που χρησιμοποιείται άμεσα στη διακριτοποίηση:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

όπου \(D\) είναι το ελαστικό μητρώο της γραμμικής ελαστικότητας. Οι εξισώσεις \eqref{eq:2.1.10} και \eqref{eq:2.1.7} αποτελούν την αρχή των εικονικών έργων που διακριτοποιείται παρακάτω.

Διακριτοποίηση και συναρμολόγηση της καθολικής εξίσωσης

Η διακριτοποίηση της αρχής των εικονικών έργων της εξίσωσης \( \eqref{eq:2.1.10} \) ανά πεπερασμένο στοιχείο δίνει

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Για κάθε στοιχείο, το πεδίο μετατοπίσεων παρεμβάλλεται με χρήση των μετατοπίσεων των κόμβων που αποτελούν το στοιχείο ως εξής.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Τότε η παραμόρφωση, με χρήση της εξίσωσης \(\eqref{eq:2.1.4}\), δίνεται ως

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις \(\eqref{eq:2.1.12}\) και \(\eqref{eq:2.1.13}\) στην εξίσωση \(\eqref{eq:2.1.11}\), προκύπτει

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Η εξίσωση \(\eqref{eq:2.1.14}\) μπορεί να γραφεί ως

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Εδώ, τα στοιχεία του μητρώου και του διανύσματος που ορίζονται από τις εξισώσεις \(\eqref{eq:2.1.16}\) και \(\eqref{eq:2.1.17}\) μπορούν να υπολογίζονται ανά πεπερασμένο στοιχείο και να συναρμολογούνται με υπέρθεση.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Επειδή η εξίσωση \(\eqref{eq:2.1.15}\) ισχύει για αυθαίρετη εικονική μετατόπιση \(\delta \boldsymbol{U}\), προκύπτει

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Από την άλλη, η οριακή συνθήκη μετατόπισης της εξίσωσης \(\eqref{eq:2.1.3}\) εκφράζεται ως

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Λύνοντας την εξίσωση \(\eqref{eq:2.1.18}\) υπό τη συνθήκη περιορισμού της εξίσωσης \(\eqref{eq:2.1.19}\), μπορεί να προσδιοριστεί η κομβική μετατόπιση \(\boldsymbol{U}\).

Σχετικά θέματα

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status