Verifikation med model med enkel geometri¶

Elastisk statisk analyse¶

I denne verifikation anvendes en udkragningsbjælke med et net som vist i figur 9.1.1. Der blev udført analyser for syv tilfælde, exA til exG, med belastningsbetingelserne varieret som vist i figur 9.1.2. Tilfælde exG har samme belastningsbetingelser som exA, men anvender en direkte solver.

Verifikationsresultatet for hver belastningsbetingelse er vist i tabel 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Eksempel på net for udkragningsbjælke (heksaederelementer)

	(a) exA, G: Koncentreret belastning
	(b) exD: Tyngdekraft
	(c) exB: Fladefordelt belastning
	(d) exE: Centrifugalkraft
	(e) exC: Volumenbelastning
	(f) exF : Termisk belastning

Ikke-lineær statisk analyse¶

(2-1) exnl1: Geometrisk ikke-lineær analyse¶

Verifikationsmodellen for tilfælde exI er identisk med modellerne for tilfælde exA til exG. Figur 9.1.3 viser en skematisk fremstilling af verifikationsmodellen. Der udføres en geometrisk ikke-lineær analyse af denne model. Verifikationsresultaterne er vist i tabel 9.1.8.

Den ikke-lineære beregning anvender 10 belastningstrin med et belastningsinkrement på 0.1P op til den endelige belastning på 1.0P.

Fig. 9.1.3 Verifikationsmodel

(2-2) exnl2: Elastoplastisk deformationsanalyse¶

Dette verifikationsproblem er baseret på National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 fra NAFEMS, og udfører elastoplastisk deformationsanalyse med geometrisk ikke-linearitet og flere hærdningsregler. Figur 9.1.4 viser analysemodellen.

Fig. 9.1.4 Model for elastoplastisk deformationsanalyse

(1) Verifikationsbetingelser

(2) Randbetingelser

Alle knuder, der ikke er angivet her, er fuldt fastholdt. Den teoretiske løsning for dette problem er som følger.

Til sammenligning er beregningsresultaterne som følger.

Kontaktanalyse (1)¶

Dette verifikationsproblem er baseret på kontakt-patch-testproblemet CGS-4 fra National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), og tester kontaktfunktionen med finite sliding og friktion. Figur 9.1.5 viser analysemodellen.

Fig. 9.1.5 Model for kontaktanalyse

Ligevægtsbetingelsen for dette problem er som følger.

I fasen med klæbende friktion er friktionskraften [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] og i fasen med glidende friktion er den [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Sammenligningen mellem beregningsresultaterne og den analytiske løsning er som følger.

Kontaktanalyse (2): Hertz-kontaktproblem¶

Denne verifikation analyserer Hertz-kontaktproblemet mellem en uendeligt lang cylinder og et uendeligt plan. Cylinderens radius er R=8mm, og Youngs modul E og Poissons forhold µ for det deformerbare legeme er henholdsvis 1100Mpa og 0.0. Kontaktområdet antages at være tilstrækkeligt lille i forhold til cylinderens radius, og under hensyntagen til problemets symmetri analyseres en kvart cylindermodel.

Fig. 9.1.6 Analysemodel for Hertz-kontaktproblemet

(1) Verifikationsresultater for kontaktradius¶

Den teoretiske formel til beregning af kontaktradius er som følger:

hvor [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Under de aktuelle beregningsbetingelser er kontaktradius \(a=1.36\), når trykket er \(F=100\).

Figur 9.1.7 viser de ækvivalente knudekræfter ved kontaktpunkterne. Kontaktradius bestemmes ved ekstrapolation af denne fordeling af knudekræfter.

Fig. 9.1.7 Fordeling af ækvivalente knudekræfter ved kontaktpunkterne

(2) Verifikationsresultater for maksimal forskydningsspænding¶

I den teoretiske løsning, ved kontaktpositionen [ z = 0.78a ] er den maksimale forskydningsspænding [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Under de aktuelle beregningsbetingelser, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . Til sammenligning giver beregningen [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Fig. 9.1.8 Fordeling af forskydningsspænding (maksimal værdi = 15.6)

(3) Modalanalyse¶

Verifikationsmodellerne for tilfælde exJ og exK er identiske med modellerne for tilfælde exA til exG. Figur 9.1.9 viser en skematisk fremstilling af verifikationsmodellen. Der udføres en modalanalyse af denne model. Den første til og med den tredje egenværdi beregnes. Tilfælde exJ anvender en iterativ solver, mens tilfælde exK anvender en direkte solver. Verifikationsresultaterne er vist i tabel 9.1.9 til 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Verifikationsmodel

Udkragningsbjælkens egenfrekvenser bestemmes ud fra følgende ligninger.

Første mode [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Anden mode [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Tredje mode [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Egenskabsværdierne for verifikationsmodellen er

Dermed er egenværdierne til og med tredje mode som følger:

Bemærk: I de tredimensionale (3D) modeller har de primære og sekundære værdier ens rødder. Derfor repræsenterer den sekundære værdi i tabellen den tertiære beregningsværdi.

Bemærk: I 3D-modellerne har de primære og sekundære værdier ens rødder. Derfor repræsenterer den sekundære værdi i tabellen den tertiære beregningsværdi.

(4) Varmeledningsanalyse¶

De fælles betingelser for de stationære varmeledningsanalyser er vist i figur 9.1.10. De individuelle betingelser for verifikationstilfældene exM til exT er vist i figur 9.1.11. Netinddelingen svarer til den, der anvendes for exA.

Verifikationsresultaterne (tabel over temperaturfordeling) for hvert tilfælde er vist i tabel 9.1.13–9.1.20.

Temperaturafhængighed af varmeledningsevne

exM: Lineært materiale
exN: Problem med foreskrevet temperatur
exO: Problem med koncentreret varmeflux
exP: Problem med fordelt varmeflux
exQ: Problem med konvektiv varmeoverførsel
exR: Problem med strålingsvarmeoverførsel
exS: Problem med volumetrisk varmeudvikling
exT: Problem med intern spalte

Lineær dynamisk analyse¶

I exW udføres en lineær dynamisk analyse af den samme udkragningsbjælke som i punkt (1). Figur 9.1.12 viser verifikationsbetingelserne. For den samme netinddeling verificeres tidsinkrementets indflydelse på resultaterne. Der anvendes både implicitte og eksplicitte tidsintegrationsmetoder med elementtype 361 og 342. Verifikationsresultaterne er vist i tabel 9.1.22 og figur 9.1.13 til 9.1.15.

Den teoretiske løsning for vibrationspunktets forskydning er som følger:

hvor

Verifikationsbetingelser:

Frekvensresponsanalyse¶

I denne verifikation udføres en frekvensresponsanalyse af en udkragningsbjælke, og den valideres ved sammenligning med resultater fra en generel kommerciel solver. Analysemodellen og verifikationsbetingelserne er vist nedenfor.

Analysebetingelser:

Egenværdierne til og med femte orden og frekvensresponsen for vibrationspunkterne, bestemt ved egenværdianalyse, er som følger: