Behandling af geometriske randbetingelser¶

Newton-Raphson-metoden løses den lineære ligning \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) ved hver iteration, men geometriske randbetingelser (forskydningsbegrænsninger) er endnu ikke indarbejdet. Dette kapitel viser, hvordan stivhedsmatricen \(\boldsymbol{K}\) og residualvektoren \(\boldsymbol{R}\) ændres for frihedsgrader med forskydningsbegrænsningen \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), så forskydningen efter iterationen opnår den foreskrevne værdi. Multipunktbegrænsninger (MPC) og ikke-lineære begrænsninger som følge af kontakt behandles separat; se Multipunktbegrænsninger og Kontakt.

Strategi: behold begrænsede forskydninger som ukendte¶

Forskydningen ved en knude med en geometrisk randbetingelse er ikke længere en ukendt, men er fastlagt til den foreskrevne værdi \(\bar{u}_i\). Disse frihedsgrader kunne betragtes som konstanter og elimineres fra den lineære ligning \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), men i FrontISTR beholdes de begrænsede frihedsgrader i korrektionvektoren \(d\boldsymbol{u}\) på samme måde som de øvrige frihedsgrader, og begrænsningen realiseres ved at omskrive \(\boldsymbol{K}\) og \(\boldsymbol{R}\).

Med denne metode ændres koefficientmatricens dimension og rækkefølgen af frihedsgrader ikke afhængigt af, om der findes begrænsninger, så det er ikke nødvendigt at eliminere variable og komprimere de ledige rækker og kolonner. Da en sådan komprimering er besværlig i en implementering, hvor koefficientmatricen lagres som en sparsom matrix, anvender FrontISTR den sidstnævnte metode, hvor begrænsningerne opfyldes alene ved at opdatere koefficientmatricen og højresiden.

Målværdi for Newton-Raphson-korrektionen¶

For en forskydningsbegrænset frihedsgrad \(i\) ændres \(\boldsymbol{K}\) og \(\boldsymbol{R}\), så korrektionen \(du_i\), der bestemmes ved Newton-Raphson-iterationen, bliver

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1. iteration}) \\ 0 & (\text{fra 2. iteration}) \end{cases} \]

På denne måde når forskydningsinkrementet den foreskrevne værdi \(\bar{u}_i\) i den første iteration, og fra anden iteration bliver korrektionen \(0\), så den foreskrevne værdi opretholdes.

Procedure for ændring af matrix og residualvektor¶

Målet i det foregående afsnit opnås med følgende to ændringer, mens formen af den lineære ligning \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) bevares.

Diagonalisering af række \(i\): Erstat diagonalleddet \(K_{ii}\), som er koefficienten til \(du_i\), med \(1\), alle øvrige koefficienter \(K_{ij}\ (j \not= i)\) med \(0\), og sæt højresiden til \(R_i \to d\bar{u}_i\). Dermed bliver ligningen i række \(i\) til \(du_i = d\bar{u}_i\).
Flytning fra række \(j(\not= i)\): Hvis \(K_{ji} \not= 0\) i række \(j(\not= i)\), flyttes leddet \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) til højresiden. Dvs. \(K_{ji} d\bar{u}_i\) trækkes fra højresiden, og koefficienten \(K_{ji}\) til \(du_i\) sættes til \(0\).

I komponentform svarer ligningerne før og efter ændringen til hinanden som følger.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]

\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Betegn koefficientmatricen og højresiden efter ændringen med henholdsvis \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\). Den lineære ligning, der til sidst skal løses, er

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Hvis der findes flere begrænsede frihedsgrader, anvendes ændringerne 1 og 2 ovenfor sekventielt for hver begrænset frihedsgrad \(i\).

Behandlingsområde i implementeringen med sparsom matrix¶

I implementeringen lagres koefficientmatricen \(\boldsymbol{K}\) som en sparsom matrix. Behandlingen af række \(j(\not= i)\) i procedure 2 ovenfor udføres kun for rækker, der har en ikke-nul komponent i kolonne \(i\), dvs. frihedsgrader ved knuder, som er forbundet gennem et element med den begrænsede frihedsgrad \(i\). For frihedsgrader uden forbindelse er \(K_{ji} = 0\), og flytningen ændrer derfor ikke højresiden. Denne begrænsning gør det muligt at gennemføre begrænsningsbehandlingen med kun lokale operationer i forhold til det samlede antal knuder.

Relaterede emner¶

Virtuelt arbejde af ydre kræfter og samling af det globale ligningssystem — Konstruktion af \(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{R}\) før ændringen
Newton-Raphson-metoden — Sammenhæng med iterationen til bestemmelse af korrektionen \(d\boldsymbol{u}\)
Konvergenskriterium — Normevaluering af residualen \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) efter begrænsningsbehandlingen