Gå til indholdet

Transient varmeledningsanalyse

Dette afsnit præsenterer tidsdiskretiseringen og den iterative løsningsmetode til varmeledningsanalyse af faste legemer med finite element-metoden (FEM). For kontinuummets styrende ligninger og randbetingelser se Varmeledningsligningen.

Diskretiseret ligning (udgangspunkt)

Diskretisering af varmeledningsligningen (varmeledningsligning (gov_he_main)) med Galerkin-metoden giver

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

hvor

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Her er \(K\), \(M\), \(F\) og \(N\) henholdsvis varmeledningsmatricen (inklusive konvektive og radiative randbidrag), massematricen, den termiske lastvektor og formfunktionsmatricen. Definitionerne af symbolerne for materialeegenskaber (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) osv.) følger Varmeledningsligningen.

Tidsdiskretisering og iterativ løsning

Ligning \(\eqref{eq:2.4.8}\) er en ikke-lineær, transient ligning. Ved tidsdiskretisering med den baglæns Euler-metode beregnes temperaturen ved tiden \(t=t_0+\Delta t\), når temperaturen ved tiden \(t=t_0\) er kendt, med følgende ligning.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Betragt en forbedring af temperaturvektoren \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), som omtrent opfylder ligning \(\eqref{eq:2.4.13}\), for at opnå den mere nøjagtige løsning \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Til dette formål udtrykkes temperaturvektoren først som følger.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Produktet af varmeledningsmatricen og temperaturvektoren, massematricen og de relaterede led approksimeres som følger.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Indsættelse af ligning \(\eqref{eq:2.4.14}\), ligning \(\eqref{eq:2.4.15}\) og ligning \(\eqref{eq:2.4.16}\) i ligning \(\eqref{eq:2.4.13}\), idet led af anden og højere orden udelades, giver følgende ligning.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Koefficientmatricen på venstre side approksimeres yderligere med følgende ligning.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Her er \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) den tangentielle stivhedsmatrix.

Temperaturen ved tiden \(t=t_0+\Delta t\) kan til sidst beregnes ved iterative beregninger med følgende ligning.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Specifikt for stationær analyse udføres de iterative beregninger med følgende ligning.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

I transient analyse anvendes en implicit metode til tidsdiskretiseringen, og valget af tidsinkrement \(\Delta t\) er derfor generelt ikke underlagt en begrænsning af dets størrelse. Hvis tidsinkrementet \(\Delta t\) er for stort, øges antallet af iterationer, der kræves for konvergens. Generelt øger et for stort tidsinkrement \(\Delta t\) antallet af iterationer. I implementeringen overvåger den automatiske inkrementstyring residualvektorens størrelse, reducerer \(\Delta t\), når konvergensen er langsom, og øger \(\Delta t\), når antallet af iterationer er lille (→ se Trinstyring for detaljer).

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status