Frekvensresponsanalyse¶

Problemformulering¶

Frekvensresponsanalyse evaluerer et systems stationære responsamplitude og fase i frekvensdomænet, når den ydre kraft varierer harmonisk med tiden. Da den styrende bevægelsesligning behandles forskelligt med og uden dæmpning, udledes først egenformerne fra udæmpet fri svingning, hvorefter de anvendes som modal basis til at udvikle den dæmpede harmoniske respons.

Udæmpet fri svingning og egenformer¶

Når dæmpning negligeres, er bevægelsesligningen

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Udvikling af forskydningen i hver egenform giver

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Indsættelse af dette i ligning \(\eqref{eq:2.6.1}\) giver

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Dette er et generaliseret egenværdiproblem. Numeriske løsningsmetoder, herunder forskudt invers iteration og Lanczos-metoden, behandles i Modalanalyse. Dette afsnit sammenfatter egenskaberne ved de resulterende egenfrekvenser og egenformer, som anvendes i den efterfølgende udvikling af den harmoniske respons.

Egenfrekvensernes realitet¶

Det kan vises som følger, at egenfrekvensen er reel. Lad \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Ved at tage den komplekse konjugerede af ligning \(\eqref{eq:2.6.3}\) fås ligning \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Multiplikation med \(\overline{U}_J^T\) giver

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Af ligning \(\eqref{eq:2.6.5}\) fås

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Da massematricen er symmetrisk positiv definit, gælder for en egenvektor forskellig fra nul

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Derfor

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Dermed er \(\omega_j^2 = \lambda_j\) reel.

Ortogonalitet og normalisering af egenformer¶

Betragt to forskellige moder.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Heraf følger

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

og, når egenværdierne er forskellige,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Forskellige egenformer er således ortogonale med hensyn til massematricen. For den samme mode bliver den efterfølgende behandling enklere ved normalisering med hensyn til massematricen som i ligning \(\eqref{eq:2.6.12}\).

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonisk respons med dæmpning¶

Dernæst præsenteres formuleringen af frekvensresponsanalyse med dæmpning. Den styrende bevægelsesligning er givet ved ligning \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Dæmpningsleddet antages at være af Rayleigh-typen og udtrykkes som ligning \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Ved hjælp af egenvektorerne fra modalanalysen kan forskydningsvektoren ved tiden t udvikles som ligning \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Antag, at det ydre kraftled har den harmoniske form

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Vi bestemmer derefter \(b_{j}(t)\). Da bevægelsesligningen i ligning \(\eqref{eq:2.6.13}\) har form som en tvungen svingning,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

gælder. Real- og imaginærdelen af udviklingskoefficienten \(b_{j}(t)\) er givet ved henholdsvis ligning \(\eqref{eq:2.6.18}i\) og \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Dette giver de ønskede koefficienter for den harmoniske respons.

Relaterede emner¶

Modalanalyse — Formulering af det underliggende egenværdiproblem
Metoder til dynamisk analyse — Dynamisk analyse i tidsdomænet
Analysetyper — Funktionelt overblik over frekvensresponsanalyse