Modalanalyse¶

Generaliseret egenværdiproblem¶

Ved analyse af frie svingninger i et kontinuum diskretiseres området rumligt og modelleres som et system med flere frihedsgrader og koncentrerede masser, som vist i figur 2.3.1. For et udæmpet problem med frie svingninger er den styrende ligning (bevægelsesligningen) som følger.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Her er $u$ den generaliserede forskydningsvektor, $M$ massematricen og $K$ stivhedsmatricen. Lad egenvinkelfrekvensen være $\omega$, lad $a$, $b$ og $c$ være vilkårlige konstanter, og lad $x$ være en vektor. Definér funktionen

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Den anden afledte af dette udtryk er

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Indsættes disse udtryk i ligning $\eqref{eq:2.3.1}$, fås

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Det vil sige,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

fås.

Det vil sige, at hvis koefficienten $\lambda = \omega^2$, som opfylder ligning $\eqref{eq:2.3.5}$, og vektoren $x$ kan findes, er funktionen $u(t)$ en løsning til ligning $\eqref{eq:2.3.1}$.

Koefficienten $\lambda$ kaldes en egenværdi, og vektoren $x$ en egenvektor. Problemet med at bestemme dem ud fra ligning $\eqref{eq:2.3.1}$ kaldes et generaliseret egenværdiproblem.

Eksempel på et system med flere frihedsgrader ved udæmpede frie svingninger

Figur 2.3.1　Eksempel på et system med flere frihedsgrader ved udæmpede frie svingninger

Matrixegenskaber og antagelser¶

For det generaliserede egenværdiproblem $K x = \lambda M x$, der blev opnået i det foregående afsnit, antager denne manual følgende matrixegenskaber. Disse antagelser danner grundlag for konvergensen og anvendelsesområdet for den forskudte inverse iteration og Lanczos-metoden nedenfor. For en kompleks matrix er den transponerede matrix lig den komplekst konjugerede, mens en reel matrix er symmetrisk. Mere specifikt: hvis $ij$-komponenten i matricen $K$ er $k_{ij}$, og den komplekst konjugerede af $k$ betegnes $\bar{k}$, så

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

gælder følgende relation.

I denne manual antages matricerne at være symmetriske og positivt definite. Positiv definit betyder, at alle egenværdier er positive; ækvivalent hermed opfylder matricen altid ligning $\eqref{eq:2.3.7}$ nedenfor.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Forskudt invers iteration¶

Ved strukturanalyse med finite element-metoden er alle egenværdier normalt ikke nødvendige i praksis; ofte er nogle få egenværdier af lav orden tilstrækkelige. HEC-MW er beregnet til storskala problemer, hvor matricerne er store og meget sparsomme (indeholder mange nulelementer). Det er derfor vigtigt at beregne egenværdierne for lavordensmoder effektivt med denne egenskab for øje.

Lad $\sigma$ være den nedre grænse for egenværdierne. Ligning $\eqref{eq:2.3.5}$ kan da omskrives til følgende matematisk ækvivalente form.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Denne transformation har følgende fordelagtige egenskaber ved beregningen.

Moderækkefølgen er inverteret.
Egenværdier nær $\rho$ afbildes til de største værdier.

I den faktiske beregning findes de største egenværdier ofte først. Derfor anvendes den primære konvergensberegning på ligning $\eqref{eq:2.3.8}$ snarere end ligning $\eqref{eq:2.3.5}$, med det formål først at finde egenværdier nær $\rho$. Denne metode kaldes forskudt invers iteration.

Lanczos-metoden¶

Begrundelse for anvendelse (sammenligning med Jacobi-metoden)¶

Blandt klassiske metoder er Jacobi-metoden velkendt.

Denne metode er effektiv, når matricen er lille og tæt. Da matricerne, som HEC-MW behandler, er store og sparsomme, anvendes Jacobi-metoden imidlertid ikke; i stedet anvendes den iterative Lanczos-metode.

Algoritme og egenskaber¶

Denne metode, som blev foreslået af C. Lanczos i 1950’erne, er en algoritme til at reducere en matrix til tridiagonal form og har følgende egenskaber.

Det er en iterativ konvergensmetode, som kan fortsætte beregningen, mens matricen forbliver sparsom.
Algoritmen består hovedsageligt af matrix-vektor-produkter og er velegnet til parallelisering.
Den er velegnet til geometrisk domæneopdeling forbundet med finite element-mesh.
Effektiv beregning er mulig ved at begrænse antallet af egenværdier og det område af moder, der skal bestemmes.

Lanczos-metoden starter med en initialvektor, genererer successivt ortogonale vektorer og konstruerer en basis for et underrum. Den siges at være hurtigere end underrumsmetoden, som er en anden iterativ metode, og anvendes bredt i finite element-programmer. Metoden er imidlertid følsom over for numeriske fejl, som kan ødelægge vektorernes ortogonalitet og medføre, at beregningen bryder sammen. Foranstaltninger mod sådanne numeriske fejl er derfor nødvendige.

Geometrisk fortolkning (Krylov-underrum)¶

Ved at indføre følgende variabeltransformation i ligning $\eqref{eq:2.3.8}$

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

kan problemet omskrives som

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

fås.

For en passende vektor $q_0$ anvendes den lineære transformation repræsenteret ved matricen $A$ (se figur 2.3.2).

$Lineær transformation af $q_0$ med matricen $A$$

Figur 2.3.2　Lineær transformation af $q_0$ med matricen $A$

Den transformerede vektor ortogonaliseres i det rum, der udspændes sammen med den oprindelige vektor. Det vil sige, at Gram-Schmidt-ortogonalisering udføres som vist i figur 2.3.2. Lad den resulterende vektor være $r_1$. Normalisér den til enhedslængde for at få $q_1$ (figur 2.3.3). Fra $q_1$ fås $q_2$ med samme procedure. På dette tidspunkt er $q_2$ ortogonal på både $q_1$ og $q_0$ (figur 2.3.4). Fortsættes samme beregning, fås indbyrdes ortogonale vektorer op til matricens orden.

$En vektor ortogonal på $q_0$: $q_1$$

Figur 2.3.3　 $q_1$, en vektor ortogonal på $q_0$

$En vektor ortogonal på $q_1$ og $q_0$: $q_2$$

Figur 2.3.4　 $q_2$, en vektor ortogonal på $q_1$ og $q_0$

Især anvender Lanczos-algoritmen vektorfølgen $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

eller ækvivalent $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

til Gram-Schmidt-ortogonalisering. Denne vektorfølge kaldes en Krylov-følge, og det rum, den udspænder, kaldes et Krylov-underrum. Når Gram-Schmidt-ortogonalisering udføres i dette rum, kan hver ny vektor bestemmes ved hjælp af de to seneste vektorer. Dette kaldes Lanczos-princippet.

Tridiagonalisering¶

I ovenstående iteration kan beregningen af den (i+1)-te vektor skrives som

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

hvor

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

I matrixnotation bliver dette

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

hvor

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Således fås egenværdierne ved at løse egenværdiproblemet for den tridiagonale matrix, der opnås fra ligning $\eqref{eq:2.3.13}$.

Relaterede emner¶

Frekvensresponsanalyse — Frekvensrespons ved brug af resultater fra modalanalyse
Analysetyper — Funktionsoversigt over modalanalyse