Metoder til dynamisk analyse¶

Dette afsnit beskriver analysemetoder til dynamiske problemer med direkte tidsintegration. Formuleringerne for den implicitte og den eksplicitte metode præsenteres nedenfor.

Diskretisering af bevægelsesligningen (fælles ramme)¶

TBD (færdiggøres i næste fase).

Implicit metode (Newmark-β-metoden)¶

For dynamiske problemer anvendes en direkte tidsintegrationsmetode til at løse bevægelsesligningen vist nedenfor.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Her er \(M\) massematricen, \(C\) dæmpningsmatricen, \(Q\) den indre kraftvektor, og \(F\) den ydre kraftvektor. Det antages, at massematricen forbliver konstant uanset deformation, også i ikke-lineær analyse.

Ændringerne i forskydning, hastighed og acceleration over tidsinkrementet \(\Delta t\) approksimeres med Newmark-\(\beta\)-metoden som vist i ligning \(\eqref{eq:2.5.2}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Her er \(\gamma\) og \(\beta\) parametre for Newmark-\(\beta\)-metoden.

Som velkendt svarer følgende værdier af \(\gamma\) og \(\beta\) til henholdsvis den lineære accelerationsmetode og trapezreglen.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (lineær accelerationsmetode)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapezregel)

Indsættelse af ligning \(\eqref{eq:2.5.2}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.3}\) i ligning \(\eqref{eq:2.5.1}\) giver følgende ligning.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

For et lineært problem er \(K_L\) specifikt den lineære stivhedsmatrix, og \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Indsættelse af denne relation i ligningen ovenfor giver følgende ligning.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

På steder, hvor acceleration er foreskrevet som en geometrisk randbetingelse, fås forskydningen fra ligning \(\eqref{eq:2.5.2}\) som følger.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Tilsvarende fås forskydningen på steder, hvor hastigheden er foreskrevet, fra ligning \(\eqref{eq:2.5.6}\) som følger.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Her er \(u_{is}(t+\Delta{t})\) knudeforskydningen ved tiden \(t+\Delta{t}\), og \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) er knudehastigheden ved tiden \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) er knudeaccelerationen ved tiden \(t+\Delta{t}\), \(i\) er nummeret på knudens frihedsgrad, og \(s\) er knudenummeret. Masse- og dæmpningsleddene behandles som følger.

Behandling af masseleddet¶

Som udgangspunkt behandles massematricen som en lumped massematrix.

Behandling af dæmpningsleddet¶

Dæmpningsleddet behandles som Rayleigh-dæmpning udtrykt ved ligning \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Her er \(R_m\) og \(R_k\) Rayleigh-dæmpningsparametrene.

Værdierne \(R_m\) og \(R_k\), der angives på !DYNAMIC-kortet, anvendes ensartet på hele modellen. For at tildele forskellige \(R_m\)- og \(R_k\)-værdier til hvert materiale angives !DAMPING-kortet i materialets !MATERIAL-blok. For elementer, der tilhører et materiale, hvor !DAMPING er angivet, beregnes elementets dæmpningsmatrix som \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) ud fra elementets massematrix \(M_i\) og tangentielle stivhedsmatrix \(K_i\), hvorefter den samles i den globale dæmpningsmatrix. Denne funktion gælder kun for den implicitte metode.

Eksplicit metode (central differensmetode)¶

Den eksplicitte metode er baseret på bevægelsesligningen ved tiden t vist nedenfor.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Udtrykkes forskydningerne ved tiderne \(t + \Delta t\) og \(t - \Delta t\) ved Taylor-udviklinger omkring tiden \(t\), og beholdes led til og med anden orden i \(\Delta t\), fås følgende ligninger.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Differensen og summen af ligning \(\eqref{eq:2.5.3}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.4}\) giver følgende ligninger.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Indsættelse af ligning \(\eqref{eq:2.5.12}\) og ligning \(\eqref{eq:2.5.13}\) i ligning \(\eqref{eq:2.5.9}\) giver følgende ligning.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

For et lineært problem er \(Q(t) = K_L U(t)\), og ligningen ovenfor bliver

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Hvis massematricen \(M\) tages som en lumped massematrix og dæmpningsmatricen som en proportional dæmpningsmatrix \(C = R_m M\), kræver ligning \(\eqref{eq:2.5.15}\) ingen løsning af simultane ligninger.

Derfor kan \(U(t+\Delta t)\) ud fra ligning \(\eqref{eq:2.5.15}\) fås ved følgende ligning.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Relaterede emner¶

Analysetyper — Oversigt over og valg af funktioner til dynamisk analyse
Referencer