Gå til indholdet

Symboloversigt for fysiske størrelser

Denne side viser symbolerne for de fysiske størrelser, der anvendes i FrontISTR-teorimanualen. Se Tensornotation og matematisk grundlag for notationsregler (fed skrift for vektorer og tensorer, Einsteins summationskonvention og Voigt-notation).

Konfiguration og koordinatsystem

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{X}\) Positionsvektor for et materialepunkt i referencekonfigurationen (startkonfigurationen), dvs. materialekoordinater
\(\boldsymbol{x}\) Positionsvektor for et materialepunkt i den aktuelle konfiguration, dvs. rumlige koordinater
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Bevægelsesafbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Område optaget af legemet i referencekonfigurationen
\(\Omega\) Område optaget af legemet i den aktuelle konfiguration
\(\Gamma_0\) Rand af \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Rand af \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrisk (forskydnings-)rand: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) rand i den aktuelle konfiguration og referencekonfigurationen, hvor den angivne betingelse er foreskrevet
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mekanisk rand: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er foreskrevet; rand i den aktuelle konfiguration og referencekonfigurationen
\(\boldsymbol{n}\) Udadrettet enhedsnormalvektor til en flade i den aktuelle konfiguration
\(\boldsymbol{N}\) Udadrettet enhedsnormalvektor til en flade i referencekonfigurationen
\(t\) Tidspunkt

Konvention: Fysiske størrelser i referencekonfigurationen betegnes med store bogstaver eller indeks \(0\), mens størrelser i den aktuelle konfiguration betegnes med små bogstaver.

Tid og inkrementer (inkrementel analyse)

Symbol Beskrivelse
\(\Delta t\) Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fysisk størrelse ved tidspunkt \(t\) (foranstillet hævet indeks). Eksempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spændingen ved tidspunkt \(t\)
\(^{t}\Omega\) Område i den aktuelle konfiguration ved tidspunkt \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Rand i den aktuelle konfiguration ved tidspunkt \(t\)

Konvention: Ved inkrementel analyse betragtes tilstanden frem til tidspunkt \(t\) som kendt, mens tilstanden ved \(t + \Delta t\) bestemmes som ukendt. Det foranstillede hævede tidsindeks udelades, når tidspunktet ikke behøver angives eksplicit. Formuleringen med referencekonfigurationen \(\Omega_0\) kaldes Total Lagrange-metoden, og formuleringen med den aktuelle konfiguration \(^{t}\Omega\) ved inkrementets start kaldes Updated Lagrange-metoden.

Forskydning, hastighed, acceleration og legemskraft

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{u}\) Forskydningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Foreskrevet forskydning på den geometriske rand \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuel forskydning (testfunktion): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Hastighedsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Accelerationsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Legemskraft (pr. masseenhed)
\(\boldsymbol{t}\) Overfladekraftvektor (pr. arealenhed): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Foreskrevet overfladekraft på den mekaniske rand \(\Gamma_t\) (Neumann-data)

Differentialoperatorer

Symbol Beskrivelse
\(\dot{(\cdot)}\) Materiel tidsafledt (tidsafledt, der følger samme materialepunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient i referencekonfigurationen (med hensyn til materialekoordinater \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient i den aktuelle konfiguration (med hensyn til rumlige koordinater \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Bemærkning: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) er relateret ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). \(\nabla\) uden indeks anvendes, når konfigurationen kan afgøres af konteksten, eller når forskellen forsvinder, f.eks. ved små deformationer.

Deformationstensorer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{F}\) Deformationsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Volumenændringsforhold: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Højre Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Venstre Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Hastighedsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Deformationshastighedstensor (den symmetriske del af \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Spintensor (den antisymmetriske del af \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tøjningstensorer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange-tøjningstensor (referencekonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi-tøjningstensor (aktuel konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Lineær del af Almansi-tøjningstensoren (symmetrisk forskydningsgradient i den aktuelle konfiguration): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Infinitesimal tøjningstensor (lineær approksimation): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Bemærkning: \(\boldsymbol{E}\) anvendes primært i Total Lagrange-metoden, mens \(\boldsymbol{D}\) primært anvendes i Updated Lagrange-metoden.

Spændingstensorer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spændingstensor (sand spænding, aktuel konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Første Piola-Kirchhoff-spændingstensor (nominel spænding): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Anden Piola-Kirchhoff-spændingstensor (referencekonfiguration, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Transformationsrelationer mellem spændingstensorerne:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvention: Total Lagrange-metoden bruger parret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mens Updated Lagrange-metoden bruger \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Massefylde og masse

Symbol Beskrivelse
\(\rho\) Massefylde i den aktuelle konfiguration
\(\rho_0\) Massefylde i referencekonfigurationen

Massebevarelse: \(\rho_0 = J\rho\)．

Materialekonstanter (lineært elastisk materiale)

Symbol Beskrivelse
\(E\) Youngs modul (længdeelasticitetsmodul)
\(\nu\) Poissons forhold
\(\lambda\) Lamés første konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Lamés anden konstant (forskydningsmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elasticitetstensor (fjerde orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\)
\(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) Materialematrix (Voigt-notation, \(6\times6\) i tre dimensioner): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponenter af elasticitetstensoren for et isotropt lineært elastisk materiale:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastiske materialer

Symbol Beskrivelse
\(W(\boldsymbol{C})\) Elastisk potentialfunktion (tøjningsenergitæthedsfunktion)
\(I_1, I_2, I_3\) Hovedinvarianter for højre Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Reducerede invarianter for \(\boldsymbol{C}\) (volumenændringen separeret)
\(C_1, C_2\) Materialekonstanter for Mooney-Rivlin-modellen
\(D\) Materialekonstant for volumetrisk elasticitet

Elastoplastiske materialer

Symbol Beskrivelse
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastisk komponent af deformationshastighedstensoren
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastisk komponent af deformationshastighedstensoren
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Flydefunktion
\(\kappa\) Intern variabel for plastisk tilstand (isotrop hærdningsvariabel)
\(\lambda^p\) Plastisk multiplikator (multiplikator for plastisk tøjningshastighed): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastisk potentiale (for associeret flyderegel \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\) Ækvivalent spænding (f.eks. von Mises-spænding)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ækvivalent plastisk tøjning
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Isotrop hærdningsfunktion

Komplementaritetsbetingelse: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\)，\(\lambda^p \geq 0\)，\(F \leq 0\)．

Den endelige elementmetode

Symbol Beskrivelse
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Områder i aktuel konfiguration og referencekonfiguration approksimeret ved endelig-element-opdeling: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elementets område i aktuel konfiguration og referencekonfiguration
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Den del af elementranden, der tilhører den mekaniske rand
\(\boldsymbol{r}\) Naturlige koordinater (elementets lokale koordinater)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punkt i de naturlige koordinater svarende til knude \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Formfunktion for knude \(\alpha\) i element \(e\)
\(n_e\) Antal knuder i elementet
\(n_g\) Samlet antal knuder
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinat og forskydning for elementknude \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Koordinat- og forskydningsvektorer for elementknuder: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) osv.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globale knudekoordinat- og forskydningsvektorer (ordnet efter knudenummer → frihedsgrad)
\(\boldsymbol{B}\) Tøjnings-forskydningsmatrix (B-matrix)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Formfunktionsmatrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er en \(d \times d\)-blok med formfunktionen \(N_\alpha^e\) for knude \(\alpha\) på diagonalen, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)．\(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Elementstivhedsmatrix
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrand for elementstivhedsmatricen (udtrykt i reference-/aktuel konfiguration): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-metode), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-metode) Elementets indre kraftvektor
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Ydre knudekraft på elementknude \(\alpha\) og elementets vektor af ydre knudekræfter: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Global indre kraftvektor og global ydre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\)，\(\boldsymbol{F}\) tilsvarende for den anden vektor
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Indre og ydre knudekraft ved global knude \(i_g\) (knudeblokke i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Global tangentstivhedsmatrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\)．\(3\times 3\)-blok \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) arrangeret i række \(i_g\) og kolonne \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Residualvektor i Newton-Raphson-iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korrektion i Newton-Raphson-iteration (opnået ved at løse den lineære ligning \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) i den \(i\)-te iteration)
\(i_g\) Globalt knudenummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)）
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globalt knudenummer svarende til det lokale knudenummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Mængde af par \((e, \alpha)\) svarende til globalt knudenummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\); anvendes ved samling
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Mængde af tripler \((e, \alpha, \beta)\) svarende til det globale knudepar \((i_g, i_h)\); anvendes ved samling af stivhedsmatricen
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indeks for knuderne i et element
\(i, j, k, l, \ldots\) Indeks for frihedsgrader (i tre dimensioner \(1, 2, 3\))

Højtydende elementer og strukturelementer

Symbol Beskrivelse
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Tøjnings-forskydningsmatrix med korrigeret volumetrisk del i B-bar-metoden (volumenkomponenten erstattes af B-matricen evalueret i elementcentrum)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Deformationsgradient med korrigeret volumetrisk del i F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Volumenforhold for deformationsgradienten evalueret i elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Intern frihedsgradsvektor i inkompatible-mode-elementer (koefficienter for ekstra forskydningsmoder, der ikke garanterer kontinuitet på elementranden)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Formfunktioner for inkompatible moder: \(M_1=1-\xi^2\)，\(M_2=1-\eta^2\)，\(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Tykkelse af skalelement
\(A\) Tværsnitsareal for bjælkeelement
\(I\) Andet arealmoment for bjælkeelementets tværsnit
\(G\) Forskydningsmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status