Tensornotation og matematisk grundlag¶

Dette kapitel samler konventionerne for tensornotation, indeksnotation og Voigt-notation, som anvendes i de efterfølgende kapitler i FrontISTR-teorimanualen. Her beskrives kun rene notationsregler, som ikke afhænger af definitionen af fysiske størrelser. Notationskonventioner, der afhænger af konfigurationen ved kontinuumbevægelse (reference-/aktuel konfiguration), såsom forskellen mellem store og små bogstaver samt mellem materielle og rumlige afledte, beskrives i Bevægelse, deformation og tøjning, hvor konfigurationsbegrebet introduceres.

Tensornotation¶

Fed skrift for vektorer og tensorer¶

Som typografisk konvention skrives skalarer og komponenter af vektorer og tensorer med normal skrift (f.eks. \(\rho\) og \(x_i\)), mens selve vektor- og tensorstørrelserne skrives med fed skrift (f.eks. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) og \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einsteins summationskonvention¶

Medmindre andet er angivet, anvendes Einsteins summationskonvention: når samme indeks forekommer to gange i samme led, summeres der over dette indeks. For eksempel

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

og \(i,j\)-komponenten af produktet \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) af tensorerne \(\boldsymbol{A}\) og \(\boldsymbol{B}\) er

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Som indekskonvention betegner \(i, j, k, l, \ldots\), når de bruges som indekser uden yderligere angivelse, indekser knyttet til frihedsgraderne (\(1, 2, 3\) i tre dimensioner), mens små græske bogstaver \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) som indekser betegner knuderne, der udgør et element.

Indre produkt, transponering og tensorprodukt¶

Den transponerede tensor af \(\boldsymbol{A}\) betegnes \(\boldsymbol{A}^T\). Det indre produkt (dobbelt kontraktion) af andenordens-tensorerne \(\boldsymbol{A}\) og \(\boldsymbol{B}\) skrives som

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Det indre produkt af vektorerne \(\boldsymbol{a}\) og \(\boldsymbol{b}\) er \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), og deres tensorprodukt er \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-notation¶

Spænding og tøjning er symmetriske andenordens-tensorer med hensyn til frihedsgraderne, og koefficienterne, der beskriver den lineære relation mellem dem, danner en fjerdeordens-tensor. Direkte håndtering af disse i et program er uhensigtsmæssig med hensyn til beregningsomkostninger og kodning (flerdimensionelle arrays og dybt indlejrede løkker). Derfor udnytter almindelige programmer for den endelige elementmetode symmetrien og komprimerer spænding og tøjning til kolonnevektorer og den fjerdeordens elasticitetstensor til en todimensional matrix. Dette kaldes Voigt-notation.

Herefter betegnes matrix- eller vektorrepræsentationen af tensorstørrelsen \(\boldsymbol{A}\) med \(\hat{A}\) for at skelne den fra den oprindelige tensor.

Vektorrepræsentation af spænding og tøjning¶

For den symmetriske spændingstensor \(\boldsymbol{\sigma}\) og tøjningstensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\) gælder i to dimensioner

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

og i tre dimensioner

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

og de behandles således som kolonnevektorer. Samme regel anvendes på afledte størrelser som variationer og differentialer. Bemærk, at forskydningstøjningskomponenterne på tøjningssiden har faktoren 2 (den findes ikke på spændingssiden). På grund af denne asymmetri kan tensorens indre produkt skrives kompakt som vektorens indre produkt

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

I implementeringen er faktoren 2 på forskydningstøjningskomponenterne let at håndtere forkert, så konventionen "ingen for spænding / ja for tøjning" skal altid holdes for øje. Nøjagtigt samme Voigt-konvention anvendes på størrelser i referencekonfigurationen (anden Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøjning \(\boldsymbol{E}\)).

Matrixrepræsentation af en fjerdeordens-tensor¶

For den lineære relation mellem spænding og tøjning, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (i komponentform \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), giver symmetrien af \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

I tre dimensioner kan \(\tilde{C}\) arrangeres som materialematricen \(\hat{\tilde{C}}\) på 6×6, hvorefter den oprindelige tensorrelation kan udtrykkes som

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Herefter betegnes materialematricen i denne manual med \(D\) (eller \(\hat{C}\)), medmindre andet er angivet. Se Lineær elasticitet for de konkrete komponenter ved isotrop lineær elasticitet.

Konventioner for differentialoperatorer¶

Symmetrisk gradientoperator¶

Den symmetriske gradientoperator \(\nabla_S\) for et vektorfelt \(\boldsymbol{u}\) defineres som

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

I komponentform er \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Tøjningen ved infinitesimal deformation, \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\), kan udtrykkes kompakt med denne operator. Valget af konfiguration (reference/aktuel), som gradienten tages med hensyn til ved endelig deformation, behandles i Bevægelse, deformation og tøjning.

Materiel tidsafledt¶

Den materielle tidsafledte af en størrelse \(A\) (tidsafledt fulgt langs samme materialepunkt) betegnes med en prik over symbolet, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Hastighed og acceleration følger denne konvention.

Relaterede emner¶

Bevægelse, deformation og tøjning — Begreberne reference-/aktuel konfiguration og konfigurationsafhængige notationskonventioner (store/små bogstaver, materielle/rumlige afledte)
Spænding og bevarelseslove — Udledning af de styrende ligninger med denne notation
Princippet om virtuelt arbejde — Anvendelse af svag form og Voigt-notation
Lineær elasticitet — Den konkrete form af materialematricen \(D\)
Formfunktioner og endelig-element-approksimation — Beregning af elementstivhed med Voigt-notation