Varmeledningsligningen¶

Dette kapitel sammenfatter de styrende ligninger for varmeledning (på kontinuumniveau) og randbetingelserne, som FrontISTR behandler. Tidsdiskretisering og FEM-diskretisering behandles under diskretisering (L3d) og løsningsalgoritmer (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Styrende ligning¶

Varmeledningsligningen i et kontinuum er som følger.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Her betegner \(\rho=\rho(x)\) massefylde, \(c=c(x,T)\) specifik varmekapacitet, \(T=T(x,t)\) temperatur, \(k=k(x,T)\) varmeledningsevne, \(Q=Q(x,T,t)\) varmeproduktion, \(x\) position og \(t\) tid. \(k_x, k_y, k_z\) er varmeledningsevnerne i de enkelte retninger ved anisotrop varmeledning.

Se Termiske egenskaber for konkrete termiske materialeegenskaber (temperaturafhængighed og anisotropi).

Randbetingelser¶

Lad det betragtede område være \(S\) og dets rand \(\Gamma\). Antages det, at der overalt på \(\Gamma\) er givet enten en Dirichlet- eller en Neumann-randbetingelse, fås følgende randbetingelser.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Her antages funktionsformerne for \(T_1\) og \(q\) at være kendte. \(q\) er varmefluxen ud gennem randen. Varmefluxen \(q\) fra randen består af følgende tre komponenter.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Her er \(q_s\) den fordelte varmeflux, \(q_c\) varmefluxen ved konvektiv varmeoverførsel og \(q_r\) varmefluxen ved strålingsvarmeoverførsel.

Her er \(Tc=Tc(x,t)\) omgivelsestemperaturen for konvektiv varmeoverførsel, \(hc=hc(x,t)\) den konvektive varmeovergangskoefficient, \(Tr=Tr(x,t)\) omgivelsestemperaturen for strålingsvarmeoverførsel, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) strålingsvarmeovergangskoefficienten, \(\varepsilon\) emissiviteten, \(\sigma\) Stefan-Boltzmann-konstanten og \(F\) formfaktoren.

Se funktionsafsnittet Randbetingelser og belastninger for angivelse i inputfilen.

Svag form¶

Koblingsrand mod strukturanalyse¶

Relaterede emner¶

Transient varmeledning — Tidsdiskretisering og ikke-lineær iteration
Termiske egenskaber — Formulering af materialedata og temperaturafhængighed
Formfunktioner og endelig-element-approksimation — Ramme for FEM-diskretisering
Funktionsreference Randbetingelser og belastninger — Input af randbetingelser til varmeledningsanalyse