Ramme for inkrementel analyse¶

Behovet for inkrementel analyse¶

Som beskrevet ovenfor kan en analyse af små deformationsproblemer udføres som en finite element-analyse ved at anvende princippet om virtuelt arbejde, som er ækvivalent med de grundlæggende ligninger såsom ligevægtsligningerne, og diskretisere denne ligning med finite elementer. Det samme princip om virtuelt arbejde anvendes grundlæggende også ved analyse af finite deformationsproblemer med store deformationer af strukturer.

I finite deformationsproblemer bliver ligningen for princippet om virtuelt arbejde imidlertid ikke-lineær med hensyn til forskydningen, selv hvis materialet antages at være lineært. Til løsning af ikke-lineære ligninger anvendes normalt iterative beregninger med en iterativ metode.

I disse iterative beregninger anvendes en inkrementel analysemetode, hvor beregningen udføres stykkevist for små lastinkrementer, som akkumuleres frem til den endelige deformerede tilstand. Ved antagelse om små deformationer blev der ikke skelnet særligt mellem konfigurationen før og efter deformation ved definition af tøjning og spænding. Det vil sige, at under antagelsen om små deformationer er det uden betydning, om de grundlæggende ligninger beskrives i konfigurationen før eller efter deformation.

Ved inkrementel analyse af et finite deformationsproblem afhænger formuleringen af, om den oprindelige konfiguration eller konfigurationen ved begyndelsen af inkrementet vælges som referencekonfiguration. Den førstnævnte kaldes Total Lagrange-metoden, og den sidstnævnte Updated Lagrange-metoden. Se referencerne sidst i kapitlet og relateret materiale for yderligere oplysninger.

Udgangsligning: Princippet om virtuelt arbejde ved tidspunkt \(t'\)¶

Antag en inkrementel analyse, hvor tilstanden frem til tidspunkt \(t\) er kendt, og tilstanden ved tidspunkt \(t' = t + \Delta t\) er ukendt (se figur 2.2.1). Ligevægtsligningerne, randbetingelserne og princippet om virtuelt arbejde ved tidspunkt \(t'\) (udtrykt i den aktuelle konfiguration ved hjælp af Cauchy-spændingen \(^{t'}\sigma\) og den lineære del af Almansi-tøjningen \(^{t'} A_{(L)}\)) er som angivet i Princippet om virtuelt arbejde.

Figur 2.2.1　Begrebet inkrementel analyse

Da denne udgangsligning imidlertid er skrevet i den (ukendte) konfiguration ved tidspunkt \(t'\), vælges i den faktiske løsningsprocedure enten den oprindelige konfiguration \(V\) ved tidspunkt \(0\) eller den aktuelle konfiguration \(^{t'} v\) ved tidspunkt \(t\) som referencekonfiguration, hvorefter ligningen omskrives til inkrementel form og løses:

• Total Lagrange-metoden — Anvender den oprindelige konfiguration \(V\) som reference. Den anden PK-spænding \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøjningen \(\boldsymbol{E}\) anvendes.
• Updated Lagrange-metoden — Anvender den aktuelle konfiguration \(^{t}v\) ved begyndelsen af inkrementet som reference. Cauchy-spændingen \(\boldsymbol{\sigma}\) og den lineære del af Almansi-tøjningen \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) anvendes.

For rumlig diskretisering af begge formuleringer (B-matrix og intern kraftvektor), se Diskretisering af internt virtuelt arbejde; for linearisering og opbygning af tangentstivheden, se Tangentstivhedsmatrix.

Relaterede emner¶

• Princippet om virtuelt arbejde — Den egentlige udgangsligning (svag form i den aktuelle og den oprindelige konfiguration)
• Diskretisering af internt virtuelt arbejde — B-matricer og interne kraftvektorer for TL/UL
• Tangentstivhedsmatrix — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) opnået ved linearisering
• Newton-Raphson-metoden — Iterativ algoritme