Gå til indholdet

Princippet om virtuelt arbejde

På grundlag af ligevægtsligningen og randbetingelserne udledt i Spænding og bevarelseslove udleder vi princippet om virtuelt arbejde, som er den svage form af randværdiproblemet i kontinuummekanikken. Diskretisering med finite element-metoden tager udgangspunkt i denne svage form. Dette kapitel præsenterer både formen i den aktuelle konfiguration (udtrykt ved Cauchy-spændingen og den lineære del af Almansi-tøjningen) og formen i referencekonfigurationen (udtrykt ved den anden Piola-Kirchhoff-spænding og Green-Lagrange-tøjningen), viser deres ækvivalens og bekræfter derefter reduktionen til små deformationer.

Ligevægtsligning og randbetingelser

Lad \(\boldsymbol{g}\) være den legemskraft, der virker på kontinuummet pr. masseenhed, og betragt et legeme, der i den aktuelle konfiguration optager domænet \(\Omega\). Randen \(\Gamma\) opdeles i den geometriske rand \(\Gamma_B\), hvor forskydningen er foreskrevet som \(\bar{\boldsymbol{u}}\), og den mekaniske rand \(\Gamma_t\), hvor traktionen er foreskrevet som \(\bar{\boldsymbol{t}}\), således at \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) og \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). For et statisk problem fås ligevægtsligningen ved at udelade inertileddet fra loven om bevarelse af impuls vist i Spænding og bevarelseslove:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{i} \ \Omega \]

Randbetingelserne er

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{på} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{på} \ \Gamma_B \]

I det følgende udledes princippet om virtuelt arbejde som den svage form af ligevægtsligningen og den mekaniske randbetingelse \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Den geometriske randbetingelse \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) indarbejdes gennem valget af testfunktion.

Svag form i den aktuelle konfiguration

I den svage form defineres henholdsvis det admissible rum for den ukendte forskydning og testfunktionsrummet som

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{på} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{på} \ \Gamma_B \} \]

Her er \(d\) den rumlige dimension, \(H^1(\Omega)\) Sobolev-rummet af funktioner, der er kvadratintegrable sammen med deres første svage afledte, og \(\delta\) betegner variation. I repræsentationen i den aktuelle konfiguration er \(\Omega\) den deformerede konfiguration; i en faktisk numerisk løsning trækkes den tilbage til referencekonfigurationen eller til en kendt mellemkonfiguration.

Ved at multiplicere ligevægtsligningen med vægten \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) og anvende Gauss' divergensteorem og den mekaniske randbetingelse fås følgende princip om virtuelt arbejde i den aktuelle konfiguration.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Her er \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) den lineære del af Almansi-tøjningstensoren, defineret ved

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Dens variation er \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Vi søger således \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), så ligningen for virtuelt arbejde er opfyldt for enhver \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Venstresiden er de indre kræfters virtuelle arbejde, mens højresiden er de ydre kræfters virtuelle arbejde fra foreskrevet traktion og legemskraft.

Da denne ligning er skrevet over det deformerede domæne (den aktuelle konfiguration), vælger en faktisk løsningsprocedure den initiale konfiguration \(\Omega_0\) (referencekonfigurationen) eller en kendt mellemkonfiguration som referencekonfiguration, omskriver ligningen til inkrementel form og løser den derefter. Se Ramme for inkrementel analyse for det konkrete valg af referencekonfiguration (Total Lagrange / Updated Lagrange) og den inkrementelle dekomposition.

Svag form i den initiale konfiguration

Betragt et legeme, der optager domænet \(\Omega_0\) i referencekonfigurationen, med randen \(\Gamma_0\) opdelt i \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Når repræsentationen i den aktuelle konfiguration trækkes tilbage til referencekonfigurationen, fås det konjugerede spændings-tøjningspar bestående af den anden Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøjningen \(\boldsymbol{E}\). Princippet om virtuelt arbejde i den initiale konfiguration er da

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Her er \(\rho_0\) massetætheden i referencekonfigurationen, og ifølge massebevarelsesrelationen \(\rho_0 = J\rho\) er dette ækvivalent med legemskraftrepræsentationen i den aktuelle konfiguration.

Ækvivalens mellem repræsentationerne i den aktuelle og initiale konfiguration

De indre kræfters virtuelle arbejde i de to repræsentationer er identisk gennem transformationen med deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\) og volumenforholdet \(J = \det \boldsymbol{F}\); dvs.

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Leddene for de ydre kræfter er også ækvivalente som følge af massebevarelse og transformation af traktion. Ligningen for virtuelt arbejde i den aktuelle konfiguration og ligningen i den initiale konfiguration udtrykker derfor det samme princip i forskellige konfigurationer. En løsningsmetode, der refererer til referencekonfigurationen, svarer til Total Lagrange-metoden, mens en løsningsmetode, der refererer til den aktuelle konfiguration (den umiddelbart foregående konvergerede konfiguration), svarer til Updated Lagrange-metoden.

Reduktion til små deformationer

Under antagelserne om små deformationer \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) og \(J \approx 1\) forsvinder forskellen mellem den aktuelle konfiguration og referencekonfigurationen, den anden PK-spænding falder sammen med Cauchy-spændingen (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), og både Green-Lagrange-tøjningen og den lineære del af Almansi-tøjningen reduceres til infinitesimaltøjningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Princippet om virtuelt arbejde reduceres da til den svage form udtrykt ved Cauchy-spændingen \(\boldsymbol{\sigma}\) og infinitesimaltøjningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{på} \ \Gamma_B \]

Dette er den svage form, der anvendes direkte til diskretisering i lineærelastisk statisk analyse med små deformationer (Lineærelastisk statisk analyse (introduktion og appendiks) tager udgangspunkt i denne form og viser konstruktionen af elementstivheden \(\boldsymbol{K}^e\) gennem assemblage af den globale ligning \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Ved at indsætte den lineærelastiske konstitutive lov \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) og skrive \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) i Voigt-notation bliver den svage form

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

som har denne form.

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status