Spændinger og bevarelseslove¶

Dette kapitel sammenfatter definitionerne af og sammenhængene mellem spændingstensorer samt ligevægtsligningerne og spændingssymmetrien, der følger af bevarelse af masse, impuls og impulsmoment. De tre spændingstensorer (Cauchy-spændingen \(\boldsymbol{\sigma}\), den første Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{P}\) og den anden Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{S}\)) indføres ud fra forskellen i, hvilken konfiguration der anvendes for referencefladen og kraftvektoren. Se Bevægelse, deformation og tøjning for definitioner af konfiguration, bevægelse og deformationsgradient og Liste over symboler for fysiske størrelser for symbollisten.

Cauchy-spændingstensor¶

Lad \(d\boldsymbol{f}\) være kraften, der virker på en infinitesimal flade i punktet \(\boldsymbol{x}\) i den aktuelle konfiguration (areal \(d\Gamma\), udadrettet enhedsnormal \(\boldsymbol{n}\)), og definer traktionsvektoren \(\boldsymbol{t}\) som kraften pr. arealenhed ved \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) afhænger både af positionen \(\boldsymbol{x}\) og normalen \(\boldsymbol{n}\). Anvendelse af impulsbevarelse på et infinitesimalt tetraeder viser, at \(\boldsymbol{t}\) er lineær i \(\boldsymbol{n}\), så der findes en andenordens tensor \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), således at

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

gælder for enhver \(\boldsymbol{n}\) (Cauchys spændingssætning). Denne tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) kaldes Cauchy-spændingstensoren og også sand spænding, fordi den repræsenterer kraft pr. arealenhed målt i forhold til geometrien i den aktuelle konfiguration. Komponenten \(\sigma_{ij}\) repræsenterer \(x_i\)-komponenten af kraften pr. arealenhed, der virker på en infinitesimal flade vinkelret på koordinataksen \(x_j\) i den aktuelle konfiguration.

Som det vises nedenfor ud fra bevarelse af impulsmoment, er Cauchy-spændingen en symmetrisk tensor

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

og har derfor seks uafhængige komponenter i tre dimensioner (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorisering af spænding i Voigt-notation forudsætter denne symmetri (se Tensornotation og matematisk grundlag). Cauchy-spænding anvendes til spændingsoutput i FrontISTR ved geometrisk ikke-lineær analyse med Updated Lagrange-metoden samt ved analyse af små deformationer.

Første og anden Piola-Kirchhoff-spænding¶

Ved endelig deformation er det ofte praktisk at udtrykke spændingen med flader og vektorer i referencekonfigurationen som reference, og derfor indføres to Piola-Kirchhoff-spændingstensorer. Lad arealet af en infinitesimal flade i referencekonfigurationen være \(d\Gamma_0\) og dens udadrettede enhedsnormal være \(\boldsymbol{N}\).

Den første Piola-Kirchhoff-spænding (første PK-spænding, nominel spænding) \(\boldsymbol{P}\) defineres som spændingstensoren, når kraften \(d\boldsymbol{f}\) i den aktuelle konfiguration virker på en infinitesimal flade i referencekonfigurationen:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Ved hjælp af Nansons formel \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) og Cauchys spændingssætning fås relationen til Cauchy-spændingen

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Den første PK-spænding er generelt ikke-symmetrisk.

Den anden Piola-Kirchhoff-spænding (anden PK-spænding) \(\boldsymbol{S}\) defineres som spændingstensoren, når kraften \(d\boldsymbol{f}\) i den aktuelle konfiguration trækkes tilbage til referencekonfigurationen med \(\boldsymbol{F}^{-1}\) og påføres en infinitesimal flade i referencekonfigurationen:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Både kraftvektoren og den flade, den virker på, udtrykkes med størrelser i referencekonfigurationen, hvilket gør tensoren invariant over for stivlegemerotation og symmetrisk. Relationen til den første PK-spænding og transformationen fra Cauchy-spændingen er

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Den anden PK-spænding udledes af den hyperelastiske tøjningsenergifunktion \(W(\boldsymbol{C})\) som \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) og anvendes i Total Lagrange-metoden sammen med Green-Lagrange-tøjningen \(\boldsymbol{E}\) som det arbejdskonjugerede par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referencekonfigurationer og symmetriegenskaber er sammenfattet i tabellen nedenfor. I grænsen for små deformationer (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) er de tre spændinger identiske.

Spændingstensor	Referenceflade	Kraftvektor	Symmetri	Anvendelse
Cauchy-spænding \(\boldsymbol{\sigma}\)	Aktuel konfiguration \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Aktuel konfiguration \(d\boldsymbol{f}\)	Symmetrisk	Updated Lagrange-metoden / analyse af små deformationer
Første PK-spænding \(\boldsymbol{P}\)	Referencekonfiguration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Aktuel konfiguration \(d\boldsymbol{f}\)	Generelt ikke-symmetrisk	Ligevægtsligninger i referencekonfigurationen
Anden PK-spænding \(\boldsymbol{S}\)	Referencekonfiguration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referencekonfiguration \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Symmetrisk	Total Lagrange-metoden / hyperelasticitet

Bevarelse af masse og impuls samt ligevægtsligningerne¶

Lad \(\rho\) være massetætheden i den aktuelle konfiguration og \(\rho_0\) massetætheden i referencekonfigurationen. Massebevarelsesloven \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) reduceres ved hjælp af transformationen af volumenelementet \(dv = J\, dV\) til den lokale form

\[ \rho_0 = J \rho \]

Dette er den lokale relation for massebevarelse.

Lad \(\boldsymbol{g}\) være legemskraften pr. masseenhed og \(\boldsymbol{a}\) accelerationen. Anvendelse af Cauchys spændingssætning og Gauss’ divergenssætning på bevarelse af impuls (Eulers første bevægelseslov) giver den lokale ligevægtsligning (bevægelsesligning) i den aktuelle konfiguration:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Omskrivning af integralet i referencekonfigurationen ved hjælp af Nansons formel og \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) giver den lokale form i referencekonfigurationen:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

De to former er ækvivalente via spændingstransformationen og \(\rho_0 = J\rho\). Hvis inertialedet negligeres, fås

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

som er den statiske ligevægtsligning og udgør udgangspunktet for FrontISTR statisk analyse (lineær og ikke-lineær).

Bevarelse af impulsmoment og spændingssymmetri¶

Ved at kombinere bevarelse af impulsmoment (Eulers anden bevægelseslov) med ligevægtsligningen fra impulsbevarelsen fås symmetrien af Cauchy-spændingstensoren:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Dermed består den af seks uafhængige komponenter i tre dimensioner. Ved at transponere begge sider af transformationen \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) og bruge, at \(\boldsymbol{F}\) er regulær, ses det, at den anden PK-spænding også er symmetrisk:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

og består derfor også af seks uafhængige komponenter. Den første PK-spænding \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) er derimod generelt ikke symmetrisk; kun relationen \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) gælder (dvs. \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) er symmetrisk), og den har ni uafhængige komponenter.

Disse symmetrier danner grundlag for at repræsentere spænding som en sekskomponentvektor i Voigt-notation. Se Tensornotation og matematisk grundlag og Lineær elasticitet for konventionerne for Voigt-notation og opbygningen af materialematricer.