Bevægelse, deformation og tøjning¶

Referencekonfiguration og aktuel konfiguration¶

Definition af konfigurationer¶

For at skelne mellem hvilken form på et givet tidspunkt der bruges som grundlag for beskrivelsen af fysiske størrelser, anvender denne manual to konfigurationer.

Referencekonfiguration (reference configuration): den udeformerede form ved analysens start (tidspunkt \(0\)), også kaldet initialkonfigurationen. Et punkt i referencekonfigurationen beskrives med materialekoordinaten \(\boldsymbol{X}\), volumen betegnes \(V\), og overfladen \(S\).
Aktuel konfiguration (current configuration): den deformerede form ved tidspunktet \(t\). Et punkt i den aktuelle konfiguration beskrives med rumkoordinaten \(\boldsymbol{x}\), volumen betegnes \(v\), og overfladen \(s\).

Bevægelsen udtrykkes som en afbildning mellem disse to konfigurationer, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), og forskydningen defineres som \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Konfigurationsafhængig notation (store/små bogstaver)¶

Det angives med store eller små bogstaver, hvilken konfiguration en fysisk størrelse hører til.

Størrelser, der hører til referencekonfigurationen, skrives med store bogstaver (f.eks. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Størrelser, der hører til den aktuelle konfiguration, skrives med små bogstaver (f.eks. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
For størrelser, der spænder over begge konfigurationer, såsom den 1. Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{P}\), anvendes den konventionelle notation, og dette angives i teksten efter behov.
I teorien for små deformationer forsvinder skellet mellem de to konfigurationer, og derfor anvendes kun små bogstaver (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradient i referencekonfigurationen og den aktuelle konfiguration¶

Notation og betydning afhænger af, hvilken konfiguration den rumlige differentiation foretages med hensyn til.

Gradient i referencekonfigurationen \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient med hensyn til materialekoordinater. Eksempel: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient i den aktuelle konfiguration \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient med hensyn til rumkoordinater. Eksempel: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

De to er relateret ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Se Tensornotation og matematisk grundlag for konventionen for tidsafledte (den materielle tidsafledte \(\dot{(\cdot)}\)).

Beskrivelse af bevægelse¶

Bevægelsesafbildning og materiel/rumlig beskrivelse¶

Betragtes et kontinuum som en samling materialepunkter, der er mærket med deres position \(\boldsymbol{X}\) ved tidspunktet \(0\), beskrives bevægelsen ved en afbildning \(\phi\), der knytter materialepunktet \(\boldsymbol{X}\) til dets position \(\boldsymbol{x}\) ved tidspunktet \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Når referencekonfigurationen efter konvention vælges som initialkonfigurationen, gælder \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Der skelnes mellem to beskrivelser afhængigt af valget af uafhængige variable.

Materiel beskrivelse (Lagrange-beskrivelse): fysiske størrelser udtrykkes som funktioner af \((\boldsymbol{X}, t)\). I faststofmekanik er dette et naturligt valg, fordi referencekonfigurationen er givet som en fast form.
Rumlig beskrivelse (Euler-beskrivelse): fysiske størrelser udtrykkes som funktioner af \((\boldsymbol{x}, t)\). Dette er standardbeskrivelsen i fluidmekanik.

FrontISTR's strukturanalyse er grundlæggende baseret på den materielle beskrivelse, men i Updated Lagrange-metoden anvendes også størrelser fra den rumlige beskrivelse, fordi den aktuelle konfiguration bruges som ny referencekonfiguration.

Forskydning, hastighed og acceleration¶

Som angivet i foregående afsnit defineres forskydningen \(\boldsymbol{u}\) ved \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Der antages intet om dens størrelse, så også endelige deformationer er omfattet. Hastigheds- og accelerationsvektoren defineres som de materielle tidsafledte af \(\boldsymbol{u}\) med materialepunktet fastholdt:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

hvorved hastighed og acceleration defineres.

Deformationsgradient og deformationstensorer¶

Deformationsgradienttensor¶

Den grundlæggende størrelse i kontinuummekanik for endelige deformationer er deformationsgradienttensoren \(\boldsymbol{F}\). Den er den lineære afbildning, der afbilder et infinitesimalt linjeelement \(d\boldsymbol{X}\) i referencekonfigurationen på et infinitesimalt linjeelement \(d\boldsymbol{x}\) i den aktuelle konfiguration, og defineres som gradienten af bevægelsesafbildningen med hensyn til materialekoordinater:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Den er således defineret (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). I den udeformerede tilstand er \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) anvendes bredt til definition af tøjning og spænding samt til transformation af fysiske størrelser mellem konfigurationer.

Volumenændringsforhold¶

Forholdet mellem det infinitesimale volumen \(dV\) i referencekonfigurationen og det tilsvarende infinitesimale volumen \(dv\) i den aktuelle konfiguration kaldes volumenændringsforholdet \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kontinuummets invertibilitet forudsætter \(J > 0\). Massebevarelsen udtrykkes som \(\rho_0 = J\rho\).

Højre og venstre Cauchy-Green-deformationstensor¶

Da deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\) indeholder stivlegemerotation, anvendes størrelser, hvor denne rotation er fjernet, som mål for selve deformationen. Højre Cauchy-Green-deformationstensor \(\boldsymbol{C}\) (referencekonfiguration) og venstre Cauchy-Green-deformationstensor \(\boldsymbol{b}\) (aktuel konfiguration) defineres som

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Begge er symmetriske tensorer og har de samme egenværdier (kvadraterne på hovedstrækforholdene). De primære invarianter i hyperelastiske tøjningsenergifunktioner udtrykkes ved hjælp af disse tensorer.

Tøjningstensorer¶

Green-Lagrange-tøjningstensor¶

Som tøjningsmål refereret til referencekonfigurationen defineres Green-Lagrange-tøjningstensoren \(\boldsymbol{E}\) ved

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Den er en symmetrisk tensor, der beskriver ændringen i skalarproduktet mellem infinitesimale vektorer i referencekonfigurationen, er invariant over for stivlegemerotation og opfylder \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) i den udeformerede tilstand. Med \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) fås

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

så udtrykket består af første- og andenordensled i forskydningsgradienten, hvor andenordensleddet beskriver den geometriske ikke-linearitet. I Total Lagrange-metoden anvendes det som det spændingskonjugerede par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi-tøjningstensor¶

Som tøjningsmål refereret til den aktuelle konfiguration defineres Almansi-tøjningstensoren \(\boldsymbol{e}\) ved

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Den er relateret til Green-Lagrange-tøjningen ved \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pullback).

Infinitesimal tøjningstensor¶

Når forskydningsgradienten er lille (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), kan andenordensleddet i Green-Lagrange-tøjningen negligeres. Samtidig forsvinder skellet mellem de to konfigurationer, så udtrykket reduceres til den infinitesimale tøjningstensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\), hvor gradienten skrives med rumkoordinater:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR anvender dette tøjningsmål i lineær statisk analyse, modalanalyse, frekvensresponsanalyse og lineær dynamisk analyse. Ved analyse af endelige deformationer anvendes \(\boldsymbol{E}\) i Total Lagrange-metoden, mens deformationstakttensoren \(\boldsymbol{D}\) refereret til den aktuelle konfiguration anvendes i Updated Lagrange-metoden.