Avancerede elementformuleringer¶

Den standardiserede forskydningsbaserede formulering, som blev præsenteret i Formulering af 3D-solidelementer, udviser en for stor kunstig stivhed, der kaldes locking (volumetrisk locking eller shear locking), når den anvendes på næsten inkompressible materialer eller bøjningsdominerede tyndvæggede konstruktioner. For at undgå dette tilbyder FrontISTR B-bar- og F-bar-metoderne, som kun erstatter den volumetriske del af henholdsvis B-matricen eller deformationsgradienten; inkompatible elementer med interne frihedsgrader; u-p-blandede elementer, der behandler trykket som et uafhængigt ukendt felt; samt MITC-skal- og bjælkeelementer, der er specialiseret til plade- og bjælkekonstruktioner.

Dette kapitel opsummerer formuleringerne for disse avancerede elementer og konstruktionselementer element for element.

B-bar-metoden¶

Når et 8-knudet lineært heksaederelement bruges til et næsten inkompressibelt materiale, kan tøjningsfeltet i et enkelt element komme i konflikt med konstantvolumenbetingelsen og give en for stor stivhed, der kaldes volumetrisk locking. B-bar-metoden afhjælper denne overbegrænsning ved at erstatte de komponenter af B-matricen, der bidrager til volumetrisk udvidelse, med værdier evalueret i elementets centrum [Hughes1980].

Lad B-matricen, beregnet ud fra formfunktionernes rumlige afledte i elementcentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), være \(\bar{\boldsymbol{B}}\); lad den almindelige B-matrix i integrationspunktet \(\boldsymbol{r}\) være \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). I forskydnings-tøjningsrelationen for knude \(\alpha\) og frihedsgrad \(i\) modificeres de volumetriske tøjningskomponenter \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ved at tilføje

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

For forskydningskomponenterne \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) bruges den almindelige \(\boldsymbol{B}\). Elementstivheden og den indre kraftvektor samles ved hjælp af den resulterende B-bar-matrix.

FrontISTR tilbyder denne formulering specifikt for det 8-knudede lineære heksaederelement (element-ID 361; se Elementnummereringssystem), og den kan anvendes på formuleringer for små deformationer, Total Lagrange og Updated Lagrange.

F-bar-metoden¶

Ved endelig deformation indgår volumenændringen ikke-lineært gennem deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\). F-bar-metoden [deSouzaNeto1996] anvender en behandling mod volumetrisk locking analog med B-bar-metoden, men på deformationsgradientniveau.

Lad volumenforholdet for deformationsgradienten evalueret i elementcentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) være \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), og lad volumenforholdet i et integrationspunkt være \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Deformationsgradienten i integrationspunktet erstattes med

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Dette giver \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), så volumenforholdet i hele elementet tilpasses værdien i elementcentrum. Den erstattede \(\bar{\boldsymbol{F}}\) bruges til spændingsevaluering og konstruktion af tøjnings-forskydningsmatricen, og elementets tangentielle stivhed omfatter de ekstra led, der er forbundet med denne erstatning.

FrontISTR implementerer F-bar-metoden specifikt for det 8-knudede lineære heksaederelement, og den kan anvendes både ved små deformationer og ved Total Lagrange / Updated Lagrange ikke-lineær geometri.

Inkompatible elementer¶

Det 8-knudede lineære heksaederelement mangler de tøjningsmoder, der kræves ved bøjning, og udviser bøjningslocking i bøjningsdominerede problemer. Inkompatible elementer [Taylor1976] indfører yderligere forskydningsmoder inde i elementet for at kompensere for denne mangel.

Ud over elementknudeforskydningerne \(\boldsymbol{u}^e\) indføres frihedsgrader for inkompatible moder \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), der kun findes inde i elementet, som 3 retninger × 3 moder pr. element, og forskydningsfeltet approksimeres som

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

For naturlige koordinater \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) vælges de inkompatible formfunktioner som \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) og \(M_3 = 1 - \zeta^2\). De garanterer ikke kontinuitet over elementgrænserne, men tilføjer et internt rum, som kan reproducere de tøjninger, der er forbundet med bøjningsmoder.

Elementstivheden opstilles først i en blokform med eksterne/interne frihedsgrader

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Efter opstilling i denne form eliminerer statisk kondensering de interne frihedsgrader ved hjælp af \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), hvilket giver elementstivheden, der kun omfatter de eksterne frihedsgrader,

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

som sendes videre til den globale samling.

FrontISTR implementerer det inkompatible element specifikt for det 8-knudede lineære heksaederelement (C3D8IC), og det kan anvendes til formuleringer for små deformationer, Total Lagrange og Updated Lagrange.

U-P-blandede elementer¶

Mens B-bar- og F-bar-metoderne korrigerer den volumetriske komponent inden for en forskydningsbaseret ramme, bruger det u-p-blandede (U-P) element en blandet formulering [Bathe1996], der indfører trykket \(\lambda\) som et ukendt felt uafhængigt af forskydningen. For næsten inkompressible materialer, såsom gummilignende materialer med et Poisson-tal meget tæt på 0.5 eller metaller efter plastisk deformation, medfører håndhævelse af konstantvolumenbetingelsen alene gennem forskydningsfeltet volumetrisk locking; ved at behandle trykket som en uafhængig variabel lempes denne begrænsning.

Spændingen opdeles i deviatoriske og trykrelaterede komponenter som

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Her er \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) den deviatoriske elasticitetsmatrix, som fås ved fra elasticitetsmatricen at fjerne den volumetriske del, der er proportional med bulkmodulet \(K\). Trykket \(\lambda\) og den volumetriske tøjning \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) er gennem kompressibiliteten \(\alpha^{-1} = 1/K\) forbundet af betingelsen

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretisering med forskydning \(\boldsymbol{u}\) og tryk \(\lambda\) som ukendte giver det koblede elementsystem

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

hvor \(\mathbf{K}_{uu}\) indeholder det deviatoriske elastiske bidrag og ved endelig deformation den geometriske stivhed; \(\mathbf{K}_{up}\) kobler volumetrisk tøjning og tryk; og \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) er trykstabiliseringsleddet (\(\boldsymbol{N}_p\) er trykformfunktionen). Da trykfrihedsgraderne er interne i elementet,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

udføres statisk kondensering i denne form, og den effektive stivhed, der kun omfatter de eksterne (forskydnings-)frihedsgrader, sendes til den globale samling.

FrontISTR implementerer U-P-elementet specifikt for det 8-knudede lineære heksaederelement med én trykfrihedsgrad pr. element (konstant i elementet). Det kan anvendes til formuleringer for små deformationer, Total Lagrange og Updated Lagrange. I Updated Lagrange opdateres den deviatoriske spænding med en objektiv spændingsrate (Jaumann/Hughes-Winget-type), hvorefter trykket \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) påføres med den værdi, der er opnået ved statisk kondensering.

Skalelementer¶

Skalelementer baseret på Reissner-Mindlin-plade-/skalteori bruges til tyndvæggede plade- og skalkonstruktioner. Når tykkelsen mindskes, overvurderer lavordens forskydningsbaserede plade-/skalelementer den tværgående forskydningstøjning gennem en mekanisme analog med volumetrisk locking (shear locking), hvilket får stivheden for bøjningsmoder til at blive for stor. MITC-metoden (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] undgår dette problem ved kun at resample forskydningstøjningskomponenterne i foruddefinerede tying-punkter i elementet og interpolere de samplede værdier tilbage over elementet.

Knuderne i et MITC-skalelement ligger på midterfladen, og hver knude har seks frihedsgrader: tre translatoriske komponenter og tre rotationskomponenter omkring midterfladens normale koordinatsystem. Elementstivheden evalueres ved tredimensional Gauss-integration over midterfladens naturlige koordinater og tykkelsesretningen, og tykkelsen \(h\) leveres som en elementegenskab ved evaluering af den konstitutive relation.

FrontISTR tilbyder MITC3 (element-ID 731), MITC4 (741) og MITC9 (743), som repræsenteres af et enkelt midterfladelag, samt lagdelte skalelementer MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 knuder, 3 frihedsgrader pr. knude) og MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 knuder, 3 frihedsgrader pr. knude), hvis knuder er arrangeret i to lag gennem tykkelsen. I de lagdelte skalelementer består knudefrihedsgraderne kun af tre translatoriske komponenter, mens bøjningsmoder svarende til rotationsfrihedsgrader repræsenteres af tolagsarrangementet.

Bjælkeelementer¶

Linjeelementer såsom dragere og rammekonstruktioner diskretiseres med bjælkeelementer. FrontISTR bruger en Timoshenko-bjælkeformulering, som tager hensyn til forskydningsdeformation og udtrykker både bøjning og forskydning som funktioner af translatoriske og roterende frihedsgrader.

Hver bjælkeknude har seks frihedsgrader: tre translatoriske komponenter og tre rotationskomponenter omkring bjælkeaksen og de tværgående akser. Elementstivheden evalueres ved endimensional numerisk integration langs bjælkeaksen. Tværsnitsarealet \(A\) og arealinertimomenterne \(I\) i bøjnings- og torsionsretningerne leveres som bjælkens sektionsegenskaber, og sammen med materialets Youngs modul \(E\) og forskydningsmodul \(G\) bestemmer de aksial-, bøjnings-, torsions- og forskydningsstivheden.

FrontISTR tilbyder et 2-knudet lige bjælkeelement (element-ID 611) og et 4-knudet tetraedrisk solid-bjælke-hybridelement repræsenteret med 3 knuder (641, for blandede frihedsgrader).

Relaterede emner¶

Formulering af 3D-solidelementer — Sammenligning med standardformuleringen
Elementnummereringssystem og formfunktionsbibliotek — Elementtype-ID'er
Elementbibliotek (funktioner) — Retningslinjer for valg af hvert element