Gå til indholdet

Formfunktioner for 3D-solidelementer

Dette kapitel opsummerer de naturlige koordinatsystemer og de eksplicitte former af formfunktionerne \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), der blev introduceret i Formfunktioner og finite element-approksimation, for de tredimensionelle solidelementer, som FrontISTR bruger i kontinuumanalyse. De seks elementtyper er første-/andenordens tetraedre (341/342), første-/andenordens trekantede prismer (351/352) og første-/andenordens heksaedere (361/362). Se Elementbibliotek i funktionsreferencen for knuderækkefølge og fladenumre i HEC-MW-meshformatet.

Proceduren til opbygning af elementintegration ud fra disse formfunktioner og Jacobi-determinanten følger Numerisk integration. B-bar-, F-bar- og inkompatible formuleringer for 361 samt formfunktioner for bjælke- og skalelementer behandles i Avancerede elementformuleringer.

Naturlige koordinatsystemer og intern knuderækkefølge

Formfunktionerne defineres på de naturlige koordinater \(\boldsymbol{r}\) for hvert element. Tredimensionelle solidelementer bruger følgende tre naturlige koordinatsystemer afhængigt af elementformen.

  • Heksaedere (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedre (341/342): volumenkoordinater \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), hvor \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) og \(L_i \ge 0\). Når \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) vælges som uafhængige variable, er \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Trekantede prismer (351/352): volumenkoordinaterne \((\xi, \eta)\) for grundtrekanten (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) kombineres med den aksiale koordinat \(\zeta \in [-1, 1]\) til \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Hjælpestørrelsen \(a = 1 - \xi - \eta\) bruges som den tredje volumenkoordinat på grundfladen.

For førsteordenselementer er elementknudenummereringen den samme i HEC-MW-inputformatet og det interne format. For andenordenselementer er konventionerne for rækkefølgen af midtsideknuder forskellige. FrontISTR accepterer HEC-MW-formatet som input (hjørneknuderne angives rundt om elementet, efterfulgt af midtsideknuderne i kantrækkefølgen 1-2, 2-3, …), mens formfunktionerne i elementbiblioteket er implementeret under antagelse af en anden knuderækkefølge.

Forskellen mellem de to formater håndteres af hecmw2fstr_mesh_conv, som kaldes umiddelbart efter meshinput og omordner knuderne for hvert element. Blandt de tredimensionelle solidelementer konverteres følgende to typer.

Elementtype Konverteringstabel Beskrivelse
342 (andenordens tetraeder) Table342 Omordner de 10 knuder til \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (andenordens trekantet prisme) Table352 Omordner de 15 knuder til \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Da omordningen udføres direkte på arrayet, der lagrer elementforbindelserne, bruger alle efterfølgende kald til elementbiblioteket FrontISTR's interne knuderækkefølge. For andenordens heksaederelement 362 findes ingen konverteringstabel, fordi rækkefølgen af midtsideknuder i HEC-MW-input og FrontISTR's interne format er den samme. Ved resultatoutput gendanner den inverse konvertering fstr2hecmw_mesh_conv HEC-MW-knuderækkefølgen før skrivning, så brugere kun behøver at forholde sig til HEC-MW-formatet både ved input og output. Knudenumrene i formfunktionerne nedenfor bruger det konverterede interne FrontISTR-format.

Formfunktioner for førsteordenselementer

For det førsteordens tetraederelement (341) er formfunktionerne selve volumenkoordinaterne:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

For det førsteordens trekantede prismeelement (351) er formfunktionerne produkter af de lineære formfunktioner for grundtrekanten (\(a, \xi, \eta\)) og de lineære aksiale formfunktioner (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

For det førsteordens heksaederelement (361) er formfunktionerne tensorprodukter af lineære formfunktioner i de tre koordinatretninger:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Her er \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) de naturlige koordinatværdier for knude \(\alpha\) (hver komponent er \(\pm 1\)).

Formfunktioner for andenordenselementer

For det andenordens tetraederelement (342) opdeles formfunktionerne i fire hjørneknuder og seks midtsideknuder:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Midtsideknuderne 5–10 svarer henholdsvis til midtpunkterne på kanterne 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 og 3-4.

Det andenordens trekantede prismeelement (352) består af seks hjørneknuder, seks midtsideknuder på de trekantede flader og tre midtsideknuder på de aksiale kanter:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Midtsideknuderne 7–9 svarer til kantmidtpunkterne på den nederste trekant (\(\zeta = -1\)), knuderne 10–12 til kantmidtpunkterne på den øverste trekant (\(\zeta = +1\)), og knuderne 13–15 til midtpunkterne på de aksiale kanter.

Det andenordens heksaederelement (362) er et 20-knudet element i Serendipity-familien. Lad de naturlige koordinatværdier for knude \(\alpha\) være \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). For hjørneknuder (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), hvor hver komponent er \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

For midtsideknuder (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), hvor én af de tre naturlige koordinater er lig \(0\), og de to andre er lig \(\pm 1\)) har knuder med \(\xi_\alpha = 0\) (kanter orienteret i \(\xi\)-retningen)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Midtsideknuder, hvis kantretning er \(\eta\)- eller \(\zeta\)-aksen, gives analogt, idet den tilsvarende naturlige koordinat elimineres af det kvadrerede led.

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status