Numerisk integration¶

Elementets indre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) og elementstivhedsmatricen \(\boldsymbol{K}^e\), som fås i Diskretisering af internt virtuelt arbejde og Eksternt virtuelt arbejde og samling af den globale ligning, har form af integraler over elementdomænet \(\Omega^e\) eller \(\Omega^e_0\). FrontISTR evaluerer disse numerisk med Gauss-kvadratur.

Gauss-kvadratur og variabeltransformation¶

Gauss-kvadratur approksimerer et integral over referencedomænet \(\Xi\) med en linearkombination af integrandens værdier i integrationspunkterne \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) og vægtene \(w_i\). Når den anvendes på elementdomænet \(\Omega^e\), udføres en variabeltransformation gennem afbildningen \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), hvilket giver

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

hvor \(n_q\) er antallet af integrationspunkter, og \(J_{\xi_i}\) er determinanten af transformations-Jacobien. Referencedomænet \(\Xi\) defineres for hver elementtype (for et heksaeder \([-1,1]^3\); for trekanter, tetraedre og kiler de tilsvarende referenceformer), og integrationspunkterne \(\boldsymbol{\xi}_i\) og vægtene \(w_i\) er givet som numeriske tabeller. Overfladeintegraler behandles i samme form ved at afbilde en elementflade fra et todimensionalt referencedomæne.

Repræsentative antal integrationspunkter, som FrontISTR bruger, er vist nedenfor (se Elementnummereringssystem og formfunktionsbibliotek for sammenhængen med elementtyper).

Elementtype	Kvadraturregel	Antal integrationspunkter
4-knudet tetraeder (`tet4n`)	1-punktsregel	1
10-knudet tetraeder (`tet10n`)	4-punktsregel	4
6-knudet trekantet prisme (`prism6n`)	2-punktsregel	2
15-knudet trekantet prisme (`prism15n`)	9-punktsregel	9
8-knudet heksaeder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-knudet heksaeder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-knudet firkant (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-knudet firkant (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-knudet trekant (`tri3n`)	1-punktsregel	1
6-knudet trekant (`tri6n`)	3-punktsregel	3

For heksaeder-, firkant- og linjeelementer bruges tensorprodukter af Gauss-Legendre-reglen i hver koordinatretning. Trekanter, tetraedre og trekantede prismer bruger særlige regler, der er tilpasset simpleksgeometrier (punktarrangementer, som integrerer polynomier eksakt over selve trekanten).

Anvendelse på elementintegration¶

Ved elementintegration bruges de naturlige koordinater \(\boldsymbol{r}\) som koordinater for referencedomænet (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), og afbildningen til fysiske koordinater gives ved interpolation af knudekoordinaterne med formfunktionerne. Afhængigt af valget af referencekonfiguration (Rammen for inkrementel analyse) bruges følgende formuleringer.

Total Lagrangian-metoden (integration over referencekonfigurationen \(\Omega^e_0\)): afbildningen og Jacobien er

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

og elementets indre kraft og stivhedsmatrix approksimeres som

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Alle \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) evalueres i integrationspunktet \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrangian-metoden (integration over den aktuelle konfiguration \(\Omega^e\)): afbildningen og Jacobien er

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

bruges som approksimationer.

Den eneste forskel mellem de to formuleringer er, om knudekoordinaterne, der leveres til afbildningen, er \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) eller \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integrationspunkterne, vægtene og strukturen af integrationspunktløkken er fælles.

Fuld integration og reduceret integration¶

Integration med tilstrækkeligt mange integrationspunkter til eksakt at integrere integrandens polynomiumsgrad kaldes fuld integration, mens integration med ét niveau færre integrationspunkter kaldes reduceret integration. Reduceret integration bruges til at afhjælpe shear locking og volumetrisk locking, men kræver behandling af spuriøse deformationsmoder såsom hourglass-moder. Antallet af integrationspunkter for hver elementtype og valget mellem fuld og reduceret integration behandles i Elementnummereringssystem og formfunktionsbibliotek og de efterfølgende afsnit samt i Avancerede elementformuleringer.

Relaterede emner¶

Rumlige afledte af formfunktioner — Beregning af Jacobien
Diskretisering af internt virtuelt arbejde — Størrelser, der evalueres ved numerisk integration
Avancerede elementformuleringer — Brug af reduceret integration