Gå til indholdet

Virtuelt arbejde fra eksterne kræfter og samling af de globale ligninger

I Diskretisering af de indre kræfters virtuelle arbejde blev venstresiden af den svage form reduceret til elementets indre kraftvektor \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-metoden) eller \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-metoden). Dette kapitel introducerer elementknudernes eksterne kraftvektor \(\boldsymbol{F}^e\) ud fra de eksterne kræfters virtuelle arbejde og anvender derefter samling (assembly), hvor elementknudestørrelser omordnes og akkumuleres efter globale knudenumre, så man til sidst får det ikke-lineære ligningssystem i knudeforskydninger, som løses i FrontISTR's ikke-lineære strukturanalyse.

Elementopdeling af de eksterne kræfters virtuelle arbejde

Højresiden af princippet om virtuelt arbejde kan opdeles elementvist i det virtuelle arbejde fra eksterne kræfter, som består af rumkræfter (legemskræfter) og foreskrevne overfladetraktioner på de mekaniske rande. For at skrive forskydningsinterpolationen, der blev introduceret i Formfunktioner og finite element-approksimation, på matrixform defineres for knude \(\alpha\) blokken \(\boldsymbol{N}_\alpha\) som en \(d \times d\)-blok med formfunktionen \(N_\alpha^e\) på diagonalen, og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) dannes ved at stille disse blokke ved siden af hinanden, så \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Indsættes dette i de eksterne kræfters virtuelle arbejde skrevet i referencekonfigurationen, fås

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

hvor elementknudernes eksterne kraftvektor ordnes som \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Dermed reduceres de eksterne kræfters virtuelle arbejde til samme form "elementknudevektor × testfunktion" som siden med de indre kræfter (skrives det i den aktuelle konfiguration, fås samme form ved substitutionerne \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) og \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Samling af fysiske størrelser ved elementknuder

De knudestørrelser \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\), der er beregnet for hvert element, akkumuleres i globale vektorer ordnet efter globalt knudenummer. Lad det globale knudenummer, der svarer til det lokale knudenummer \(\alpha\) i element \(\Omega^e\), være

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Da er en fysisk størrelse ved en elementknude identisk med den tilsvarende komponent af den globale knudestørrelse (f.eks. \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Da en knude \(i_g\) generelt deles af flere elementer, defineres mængden af par \((e, \alpha)\), hvis globale knudenummer er \(i_g\), som

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Ved hjælp af denne mængde kan summen omskrives som \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), hvorved den indre knudekraft og den globale indre kraftvektor over alle \(n_g\) knuder fås:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Her svarer \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) til resultantkraften af de indre elementknudekræfter, der virker ved knude \(i_g\), og er \(\boldsymbol{0}\), når der ikke virker nogen ekstern kraft, og ligevægt er opfyldt. Den samme procedure i UL-metoden giver \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); da de numeriske værdier opfylder \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), bruges notation \(\boldsymbol{Q}\) herefter, undtagen hvor en skelnen er nødvendig. Den globale eksterne kraftvektor \(\boldsymbol{F}\) fås ved samme akkumulering.

I implementeringen konstrueres mængden \(\mathcal{E}(i_g)\) ikke eksplicit; i stedet lægges bidragene til de tilsvarende komponenter inde i elementløkken.

Initialisér den globale indre kraftvektor Q til 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (antal elementer)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Den globale eksterne kraftvektor \(\boldsymbol{F}\) konstrueres med samme procedure. Denne operation, hvor fysiske elementknudestørrelser adderes til og lagres i vektorer og matricer nummereret efter globale knudenumre, kaldes samling (assembly). For andenordens tensorer, der er knyttet til to knudenumre (såsom stivhedsmatricer), fås samme type samling ved hjælp af mængden \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (se Tangentiel stivhedsmatrix for den konkrete konstruktion).

Ikke-lineære ligninger, der skal løses

Når de samlede indre og eksterne kræfter indsættes i princippet om virtuelt arbejde, og det udnyttes, at dette gælder for enhver testfunktion \(\delta\boldsymbol{u}^n\), der opfylder de geometriske randbetingelser, fås

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

I sammenhæng med inkrementel analyse (Rammen for inkrementel analyse) genindføres tidsindekset \(_{n+1}\), og superskriptet \(^n\), der angiver den globale knudevektor, udelades. Ligningen, der skal løses, bliver da

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Dermed reduceres det diskretiserede randværdiproblem med at finde knudeforskydningen \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ved tiden \(t_{n+1}\) til at løse denne ikke-lineære ligning i forskydningen sammen med de geometriske randbetingelser. Linearisering af ligningen og konstruktion af den tangentielle stivhedsmatrix beskrives i Tangentiel stivhedsmatrix, og den iterative løsningsmetode beskrives i Newton-Raphson-metoden.

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status