Diskretisering af de indre kræfters virtuelle arbejde¶

Ramme for inkrementel analyse viser ligningen for virtuelt arbejde ved tidspunktet \(t + \Delta t\), som afhængigt af valget af referencekonfiguration opdeles i Updated Lagrange- og Total Lagrange-formuleringen. Dette kapitel anvender endelig-element-approksimationen fra Formfunktioner og endelig-element-approksimation og Rumlige afledte af formfunktioner til at rumligt diskretisere de indre kræfters virtuelle arbejde for begge formuleringer og udlede elementernes indre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) og \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Lad forskydningen ved element \(e\)s knude \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) være \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), og arranger elementets knudeforskydningsvektor som \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Den virtuelle forskydning \(\delta \boldsymbol{u}^e\) defineres i samme rækkefølge. Forskydningen i elementet interpoleres med formfunktionerne som \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

De indre kræfters virtuelle arbejde i Updated Lagrange-metoden¶

I Updated Lagrange-metoden anvendes den aktuelle konfiguration \({}^{t}\Omega\) ved tidspunkt \(t\) som referencekonfiguration, og de indre kræfters virtuelle arbejde skrives med Cauchy-spændingen \(\boldsymbol{\sigma}\) og den lineære del af Almansi-tøjningen \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) som

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Hver komponent af \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kan udtrykkes som en lineær kombination af den afledte \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) af formfunktionen med hensyn til de aktuelle koordinater \(\boldsymbol{x}\) og den virtuelle knudeforskydning \(\delta u^e_{i\alpha}\). I Voigt-notation kan dette samles som

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Knudeblokken \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) er en \(6 \times 3\)-matrix, hvor \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) er arrangeret efter Voigt-reglerne, og \(\boldsymbol{B}_L\) er tøjnings-forskydningsmatricen for UL-metoden. Når dette indsættes i de indre kræfters virtuelle arbejde og \(\delta \boldsymbol{u}^e\) isoleres, fås

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Knudeblokken \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) i \(\boldsymbol{q}^e\) er den indre kraft, der virker på knude \(\alpha\) i elementet \(\Omega^e\).

De indre kræfters virtuelle arbejde i Total Lagrange-metoden¶

I Total Lagrange-metoden anvendes referencekonfigurationen \(\Omega_0\) som reference, og med anden Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøjning \(\boldsymbol{E}\) skrives

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

\(\delta \boldsymbol{E}\) opdeles i et lineært led i den virtuelle forskydning og et ikke-lineært led, der indeholder produktet med den aktuelle forskydningsgradient \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Det lineære led kan med knudeblokken \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\), hvor samme arrangeringsregel som i UL-metoden anvendes på \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), skrives som

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

(kun bestanddelen ændres fra \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) til \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) på grund af forskellen i referencekonfiguration; notation deles med UL-metoden). Det ikke-lineære led kan med knudeblokken \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\), hvor produktet af den aktuelle forskydningsgradient \(\partial u_k/\partial X_j\) og \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) er arrangeret efter Voigt-reglerne, skrives som

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Dermed er \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), og \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) er tøjnings-forskydningsmatricen for TL-metoden. Indsættelse i de indre kræfters virtuelle arbejde giver

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Knudeblokken \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) er den indre kraft, der virker på knude \(\alpha\) i elementet \(\Omega^e_0\).

Sammenhæng mellem UL/TL og beregningsflow¶

Elementernes indre kraftvektorer for Updated Lagrange- og Total Lagrange-metoden svarer til hinanden som følger.

Punkt	Updated Lagrange-metode	Total Lagrange-metode
Referencekonfiguration	Aktuel konfiguration \({}^{t}\Omega^e\)	Referencekonfiguration \(\Omega^e_0\)
Spændingstensor	Cauchy-spænding \(\boldsymbol{\sigma}\)	Anden PK-spænding \(\boldsymbol{S}\)
Tøjningsvariation	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-matrix	\(\boldsymbol{B}_L\)（\(\partial N/\partial x\)）	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)（\(\partial N/\partial X\)，\(\partial u/\partial X\)）
Elementets indre kraft	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Begge kan behandles med den samme procedure: "konstruer \(\boldsymbol{B}_L\) ud fra de rumlige afledte af formfunktionerne", "i TL-metoden konstrueres \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ud fra den aktuelle forskydningsgradient og lægges til", "opdater spændingen (\(\boldsymbol{\sigma}\) eller \(\boldsymbol{S}\)) efter den konstitutive lov" og "numerisk integrer \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) eller \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) over elementområdet ved integrationspunkterne (se Numerisk integration)". Bortset fra skiftet af referencekonfiguration (knudekoordinater og konstruktion af \(\boldsymbol{B}\)-matricen) og udskiftningen af spændingstensoren er behandlingen fælles, og FrontISTR implementerer derfor beregningen af indre kræfter for begge metoder i en fælles subrutine. Samlingen af elementernes indre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e\) og \(\boldsymbol{Q}^e\) til den globale indre kraftvektor behandles i Virtuelt arbejde af ydre kræfter og samling af det globale ligningssystem.

Relaterede emner¶

Princippet om virtuelt arbejde — Udgangsligning
Ramme for inkrementel analyse — Definition af TL/UL-forgreningen
Rumlige afledte af formfunktioner — Bestanddele af B-matricen
Virtuelt arbejde af ydre kræfter og samling af det globale ligningssystem — Til den globale indre kraftvektor
Tangentstivhedsmatrix — Linearisering ved tidsafledning af den indre kraft
Symboloversigt for fysiske størrelser