Gå til indholdet

Rumlige afledte af formfunktioner

Formfunktionerne \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), der blev introduceret i Formfunktioner og finite element-approksimation, er givet som funktioner af de naturlige koordinater \(\boldsymbol{r}\), som er elementets lokale koordinater. Gennem tøjnings-forskydningsrelationen indeholder integranderne i den svage form derimod partielle afledte med hensyn til de fysiske koordinater (referencekonfigurationen \(\boldsymbol{X}\) eller den aktuelle konfiguration \(\boldsymbol{x}\)), dvs. \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) eller \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Dette afsnit systematiserer proceduren til beregning af disse rumlige afledte af formfunktionerne ud fra elementknudekoordinaterne og afledte med hensyn til de naturlige koordinater.

Udtryk for rumlige afledte ved kædereglen

Ved at anvende kædereglen på interpolationsformlen \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (forrige afsnit) og benytte Jacobi-matricen \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) for afbildningen fra naturlige koordinater til fysiske koordinater fås

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Her er \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) og \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matricer, hvor række \(\alpha\) repræsenterer vektoren af partielle afledte for knude \(\alpha\); hver af dem er en \(n_e \times 3\)-matrix.

Konstruktion af Jacobi-matricen

Differentiering af interpolationsformlen med hensyn til \(\boldsymbol{r}\) giver

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Jacobi-matricen kan således konstrueres direkte ud fra elementknudekoordinaterne \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) og de naturlige koordinatafledte \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). De naturlige koordinatafledte bestemmes af formfunktionernes funktionsform og er implementeret på forhånd for hver elementtype.

Determinanten af Jacobi-matricen \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) bruges ved numerisk integration til at transformere volumenelementet som \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Hvis determinanten bliver \(0\), er elementet degenereret, og beregningen fejler.

Beregningsforløb

Ud fra afledningen ovenfor kan beregningen af de rumlige afledte \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) opdeles i følgende fire trin.

  1. Beregn afledte i naturlige koordinater: Med elementtypen og de naturlige koordinater \(\boldsymbol{r}\) for evalueringspunktet som input beregnes matricen af afledte i naturlige koordinater \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Da formfunktionernes funktionsform afhænger af elementtypen, forgrenes behandlingen efter elementtype.
  2. Beregn Jacobi-matricen: Ud fra elementknudekoordinaterne \(\boldsymbol{X}^e\) og \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) opstilles Jacobi-matricen \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) med ligningen i det foregående afsnit.
  3. Beregn invers matrix og determinant: Beregn den inverse \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) og determinanten af Jacobi-matricen. Determinanten bruges i vægtningen ved numerisk integration.
  4. Beregn rumlige afledte: Ud fra \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) og \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) fås de rumlige afledte \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) som deres produkt.

Disse fire trin forgrener sig efter elementtype og rumlig dimension (to eller tre dimensioner), men det overordnede forløb er fælles.

Fælles behandling af reference- og aktuel konfiguration

Proceduren ovenfor kan også anvendes ved blot at erstatte \(\boldsymbol{X}^e\) med de aktuelle knudekoordinater \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) for at få de rumlige afledte \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) i den aktuelle konfiguration. Den samme procedure kan dermed deles mellem Total Lagrangian- og Updated Lagrangian-formuleringerne ved kun at skifte inputknudekoordinaterne.

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status