Formfunktioner og finite element-approksimation¶

For at kunne behandle den svage form af princippet om virtuelt arbejde numerisk opdeles legemets domæne i et endeligt antal elementer, og materialepunktets koordinater, forskydningen og testfunktionen i hvert element interpoleres ud fra knudeværdier og formfunktioner. Rumlige afledte af formfunktionerne behandles i Rumlige afledte af formfunktioner, diskretisering af den svage form i Diskretisering af internt virtuelt arbejde, og de konkrete former af formfunktionerne for hver elementtype i Elementnummereringssystem og formfunktionsbibliotek og de efterfølgende afsnit.

Domæneopdeling og elementvise summer af integraler¶

Domænet \(\Omega_0\) i referencekonfigurationen og domænet \(\Omega\) i den aktuelle konfiguration approksimeres af foreningerne af henholdsvis elementerne \(\Omega^e_0\) og \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) er elementnummeret, og elementgrænser deles mellem tilstødende elementer.) Dermed opdeles volumen- og overfladeintegralerne i princippet om virtuelt arbejde i summer af integraler over de enkelte elementer:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Det samme gælder for den aktuelle konfiguration ved at erstatte \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) og \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Herefter reduceres evalueringen af den svage form til at opstille integraler element for element.

Interpolation med knudeværdier og formfunktioner (isoparametriske elementer)¶

Hvert element \(\Omega^e_0\) tildeles \(n_e\) knuder. Lad referencekonfigurationskoordinaterne og knudeforskydningerne for elementknude \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) være \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Elementknudevektorerne \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) og \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) dannes ved at ordne disse værdier; for element \(e\) indeholder de kun komponenterne for de knuder, der udgør elementet, udtrukket fra de globale knudevektorer \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) er det samlede antal knuder).

Med de naturlige koordinater \(\boldsymbol{r}\), som er lokale koordinater inden for elementet, som parametre interpolerer formfunktionerne \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) materialekoordinaterne, forskydningen og testfunktionen i elementet ved hjælp af de samme formfunktioner (isoparametrisk element og Galerkin-metoden):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Formfunktionerne konstrueres, så de opfylder de følgende to egenskaber, og elementgeometrien vælges sådan, at afbildningen \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) fra naturlige koordinater til materialekoordinater er entydig inden for elementet:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) er punktet i naturlige koordinater, der svarer til knude \(\alpha\), og \(\delta_{\alpha\beta}\) er Kroneckers delta.) Den første ligning garanterer reproduktion af stivlegemetranslation, og den anden garanterer, at den interpolerede værdi er lig knudeværdien ved hver knude. De konkrete former af \(n_e\) og \(N_\alpha^e\) for hver elementtype findes i Elementnummereringssystem og formfunktionsbibliotek og de efterfølgende afsnit. For at undgå tung notation repræsenteres afhængigheden af elementtypen med det elementvise superskript \(e\).

Med interpolationsreglerne ovenfor kan integranden i den svage form udelukkende udtrykkes ved elementknudeværdierne \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) og \(N_\alpha^e\). Tøjning afledes derimod fra den interpolerede forskydning og tøjnings-forskydningsrelationen, mens spænding afledes fra denne tøjning og materialets konstitutive lov; disse størrelser interpoleres ikke direkte fra knudeværdier. De evalueres i integrationspunkter i elementet (Numerisk integration).

Ordningsregel for globale knudevektorer¶

Fysiske størrelser, der er tildelt knuder, ordnes i den globale knudevektor i stigende rækkefølge efter knudenummer → frihedsgrad. Hvis frihedsgradskomponent \(i\) ved knude \(\alpha\) betegnes med \(u_{i\alpha}\), gælder i henholdsvis tre dimensioner (\(i=1,2,3\)) og to dimensioner (\(i=1,2\)):

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinaterne \(\boldsymbol{X}^n\) og testfunktionen \(\delta\boldsymbol{u}^n\) følger samme ordning. Herefter skrives afledninger på matrix- og vektorform med det tredimensionelle tilfælde som repræsentativt.

Relaterede emner¶

Princippet om virtuelt arbejde — Svag form, der skal diskretiseres
Rumlige afledte af formfunktioner — Opstilling af Jacobimatricen og B-matricen
Elementnummereringssystem og formfunktionsbibliotek — Formfunktioner for hver elementtype