Krybning¶

Dette kapitel beskriver den konstitutive lov for krybning, som anvendes i FrontISTR. Se funktionsafsnittet 03_material for detaljer om valg og inputangivelser.

Krybningsfænomen og additiv dekomponering af tøjning¶

Tidsafhængig forskydning under en tilstand med konstant spænding er et fænomen, der kaldes "krybning".

Den viskoelastiske opførsel, der er beskrevet ovenfor, kan også betragtes som en form for lineær krybning. Her beskrives flere ikke-lineære krybningsformer. En almindelig fremgangsmåde er at formulere den konstitutive relation ved at lægge denne opførsel til den tøjning, der opstår øjeblikkeligt, og at definere den tøjning, der akkumuleres, mens en given konstant belastning fortsætter, som krybningstøjningen \(\varepsilon^c\). En konstitutiv relation, der omfatter krybning, udtrykkes normalt ved hjælp af krybningstøjningshastigheden \(\dot{\varepsilon}^c\), defineret som en funktion af spændingen og den samlede krybningstøjning.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Hvis den tøjning, der opstår øjeblikkeligt, er den elastiske tøjning \(\varepsilon^e\), udtrykkes den samlede tøjning som følgende sum inklusive krybningstøjningen.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

hvor

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) er elasticitetstensoren).

Nortons lov¶

Som en konkret konstitutiv lov for krybning anvender FrontISTR følgende Norton-model. I denne konstitutive lov udtrykkes den ækvivalente krybningstøjningshastighed \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) som en funktion af von Mises-spændingen \(q\) og tiden \(t\) som følger.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Her er \(A\), \(m\) og \(n\) materialekonstanter.

Tidsintegration og spændingsopdatering¶

Som for plastiske materialer skal der angives en numerisk tidsintegrationsmetode for en konstitutiv lov, der udviser krybning. Den konstitutive relation, når krybning medtages, er

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

hvor \(\beta_{n+\theta}\) er

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Krybningstøjningsinkrementet \(\Delta \varepsilon^c\) defineres derefter ved følgende forenklede ikke-lineære ligning:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

som sættes lig nul.

I Newton-Raphson-iterationen, hvor \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) tages som begyndelsesspænding, og tøjningsinkrementet fra den endelige elementmetode anvendes, gives den iterative løsning og inkrementet ved

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

hvor

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

Ved iteration, indtil residualet \(R\) bliver \(\mathbf{0}\), anvendes spændingen \(\sigma_{n+1}\) og tangentmodulet

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Relaterede emner¶

Viskoelasticitet — Viskoelastisk opførsel svarende til lineær krybning
Tangentstivhedsmatrix — Tangentstivhed for inkrementel analyse inklusive krybning
Materialedata (funktioner) — Parameterangivelse for Norton-modellen