Elastoplasticitet¶

Dette kapitel beskriver rammen for den elastoplastiske konstitutive lov, som FrontISTR anvender. Se funktionsafsnittet 03_material for detaljer om valg og inputangivelser.

Fænomen (plastisk deformation)¶

TBD (udarbejdes i næste fase).

Ramme for den konstitutive lov¶

FrontISTR anvender en elastoplastisk konstitutiv ligning baseret på en associeret flyderegel. Den konstitutive ligning beskriver desuden relationen mellem Jaumann-raten af Kirchhoff-spændingen og deformationshastighedstensoren, og deformationsanalysen anvender Updated Lagrange-metoden.

Antag, at flydebetingelsen for det elastoplastiske legeme er givet som følger.

Indledende flydebetingelse:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Efterfølgende flydebetingelse:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

hvor

\(F\): flydefunktion
\(\sigma_{y_0}\): indledende flydespænding
\(\sigma_y\): efterfølgende flydespænding
\(\sigma\): spændingstensor
\(e\): infinitesimal tøjningstensor
\(e^p\): plastisk tøjningstensor
\(\overline{e}^p\): ækvivalent plastisk tøjning

Det antages, at relationen mellem flydespænding og ækvivalent plastisk tøjning svarer til relationen mellem spænding og plastisk tøjning i en enaksial tilstand.

Spændings-plastisk-tøjningsrelation i enaksial tilstand

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

Her er \(H'\) tøjningshærdningskoefficienten.

Relation mellem ækvivalent spænding og ækvivalent plastisk tøjning

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Den efterfølgende flydefunktion er generelt en funktion af temperatur og plastisk tøjningsarbejde, men her antages den for enkelheds skyld kun at være en funktion af den ækvivalente plastiske tøjning \(\overline{e}^p\). Under plastisk deformation skal \(F = 0\) fortsat være opfyldt, og derfor skal følgende ligning gælde.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Her betegner \(\dot{F}\) den tidsafledte af \(F\). Herefter betegnes den tidsafledte af en størrelse \(A\) med \(\dot{A}\).

Antag nu, at der findes et plastisk potentiale \(\Theta\), og udtryk den plastiske tøjningshastighed som følger.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Her er \(\dot{\lambda}\) en koefficient.

Antag desuden, at det plastiske potentiale \(\Theta\) er lig flydefunktionen \(F\), og anvend følgende associerede flyderegel.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Ved at indsætte denne ligning i konsistensbetingelsen fås følgende.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Her er \(D\) elasticitetsmatricen, og

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Den elastoplastiske spændings-tøjningsrelation kan skrives som følger.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Når flydefunktionen \(F\) for det elastoplastiske materiale er kendt, kan den konstitutive ligning udledes af denne ligning.

Flydefunktioner¶

Nedenfor angives de elastoplastiske flydefunktioner, som FrontISTR anvender.

Von Mises-flydefunktion¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Her er \(J_2\) den anden invariant af den deviatoriske spændingstensor.

Mohr-Coulomb-flydefunktion¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Her er \(\sigma_1, \sigma_3\) henholdsvis den største og mindste hovedspænding, \(c\) kohæsionen og \(\phi\) den indre friktionsvinkel.

Drucker-Prager-flydefunktion¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Her beregnes materialekonstanterne \(\alpha\) og \(\sigma_y\) ud fra materialets kohæsion og friktionsvinkel som følger.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Relaterede emner¶

Lineær elasticitet — Elastisk respons (den elastiske del af elastoplasticiteten)
Tangentstivhedsmatrix — Tangentstivhed i inkrementel analyse med materialenonlinearitet
Materialedata (funktion) — Valg og anvendelse af flydefunktioner og hærdningslove