Hyperelasticitet¶

Dette kapitel beskriver de hyperelastiske konstitutive love, som FrontISTR understøtter. Se funktionsafsnittet 03_material for detaljer om valg og inputangivelser.

Fænomen (reversibel respons ved store deformationer)¶

TBD (udarbejdes i næste fase).

Ramme for den konstitutive lov¶

Den elastiske potentielle energi i et isotropt hyperelastisk materiale følger af den isotrope respons fra den indledende spændingsfri tilstand og kan udtrykkes som en funktion af hovedinvarianterne \((I_1, I_2, I_3)\) for højre Cauchy-Green-deformationstensor \(C\), eller af hovedinvarianterne \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) for deformationstensoren med volumenændringen fjernet, dvs. som \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) eller \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Den konstitutive ligning for et hyperelastisk materiale defineres ved relationen mellem anden Piola-Kirchhoff-spænding og Green-Lagrange-tøjning, og deformationsanalysen anvender Total Lagrange-metoden.

Når den elastiske potentielle energi \(W\) er kendt, kan anden Piola-Kirchhoff-spænding og spændings-tøjningsrelationen beregnes som følger.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Nedenfor angives den elastiske potentielle energi \(W\) for de hyperelastiske modeller, som FrontISTR anvender.

Neo-Hookean-hyperelastisk model¶

Den Neo-Hookeanske hyperelastiske model er en udvidelse af den isotrope lineære lov (Hookes lov), så den kan anvendes på problemer med store deformationer. Det elastiske potentiale er som følger.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Her er \(C_{10}\) og \(D\) materialekonstanter.

Mooney-Rivlin-hyperelastisk model¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Her er \(C_{10}\), \(C_{01}\) og \(D\) materialekonstanter.

Anisotrop Mooney-Rivlin-hyperelastisk model¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Her er \(C_{10}\), \(C_{01}\) og \(D\) materialekonstanter, der er fælles med den isotrope model, mens \(C_{42}\) og \(C_{43}\) kun er materialekonstanter for anisotropi.

Arruda-Boyce-hyperelastisk model¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Her er \(\mu_0\), \(\lambda_m\) og \(D\) materialekonstanter.

Relaterede emner¶

Lineær elasticitet — Elastisk respons ved små deformationer
Elastoplasticitet — Konstitutiv lov med irreversibel deformation
Materialedata (funktion) — Valg af modeller og deres anvendelse