Gå til indholdet

Lineær elasticitet

Dette kapitel behandler den konstitutive lov (Hookes lov) for lineærelastiske materialer. Se funktionsafsnittet 03_material for detaljer om valg af model og inputangivelser.

Fænomen (lineærelastisk respons)

Et lineærelastisk materiale er et materiale, der i et område, hvor tøjningen under belastning er tilstrækkelig lille, har en lineær relation mellem spænding og tøjning og udviser en reversibel, historie-uafhængig respons, hvor al tøjning vender tilbage til udgangstilstanden ved aflastning. I modsætning til plasticitet og creep har det ingen interne tilstandsvariable (såsom plastisk eller viskøs tøjning), og spændingen bestemmes entydigt alene af den aktuelle tøjning.

I området med små deformationer anvendes Cauchy-spændingen \(\boldsymbol{\sigma}\) og den infinitesimale tøjning \(\boldsymbol{\varepsilon}\); i området med endelige deformationer (problemer med store rotationer, men hvor selve tøjningen er lille) anvendes den 2. Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøjningen \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoff-materiale).

Konstitutiv lov

Isotropt lineærelastisk materiale

I området med små deformationer udtrykkes den isotrope Hooke-lov ved Lamé-konstanterne \(\lambda, \mu\) som

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

I komponentform fås

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

og dobbeltkontraktion med tøjningen giver \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé-konstanterne er relateret til Youngs modul \(E\) og Poissons tal \(\nu\) som følger:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

I Voigt-notation skrives relationen mellem tøjningsvektoren \(\hat{\varepsilon}\) og spændingsvektoren \(\hat{\sigma}\) som \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), og den tredimensionale materialematrix \(D\) er

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Denne matrixrepræsentation anvendes i implementeringen.

Ortotropt lineærelastisk materiale

For materialer, hvor elasticitetskonstanterne varierer med hovedakseretningen, anvendes en ortotrop model med ni uafhængige konstanter: Youngs moduler i hovedakseretningerne \(E_1, E_2, E_3\), Poissons tal mellem hovedakserne \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) og forskydningsmodulerne \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Se standardreferencer for den eksplicitte form af \(D\)-matricen.

Område med endelige deformationer: St.Venant-Kirchhoff-materiale

For problemer med store rotationer, men hvor selve tøjningen er lille, anvendes St.Venant-Kirchhoff-materialet som en lineærelastisk lov mellem den 2. Piola-Kirchhoff-spænding \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-tøjningen \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definitionerne af Lamé-konstanterne \(\lambda, \mu\) er de samme som i tilfældet med små deformationer. Bemærk dog, at dette er en anden konstitutiv lov end Hookes lov for små deformationer, fordi det anvendte spændings-tøjningspar er anderledes.

Hypoelastisk materiale

I Updated Lagrange-metoden anvendes en hypoelastisk materialemodel med følgende lineærelastiske lov mellem Jaumann-raten af den relative Kirchhoff-spændingstensor \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) og deformationstakttensoren \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Også her er definitionen af \(\boldsymbol{C}\) ved Lamé-konstanterne den samme som ovenfor, men da spændings-tøjningsparret er forskelligt, er der tale om en anden konstitutiv lov. Se tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex for detaljer om, hvordan \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) opdateres gennem tidsintegrationsproceduren (fremad Euler-integration og centraldifferensapproksimation).

Reduktion til todimensional analyse og skalelementer

Plan spænding (\(\sigma_{33} = 0\))

For plan spænding, der beskriver belastning af tynde plader og skaller, antages \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), og der anvendes en \(D\)-matrix, hvor den ud-af-planet tøjningskomponent \(\varepsilon_{33}\) er elimineret algebraisk:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Plan tøjning (\(\varepsilon_{33} = 0\))

For plan tøjning, der beskriver tværsnittet af en lang struktur, som er fastholdt i tykkelsesretningen, antages \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Aksesymmetrisk

Ved aksesymmetrisk analyse, der behandler problemer, som er ensartede i \(\theta\)-retningen i cylindriske koordinater \((r, \theta, z)\), bevares de fire komponenter \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) og \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), og

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

fås.

Skalelementer (plan spænding + tværgående forskydning)

For skalelementer behandles spændingen i planet som plan spænding, og for de tværgående forskydningstøjningskomponenter \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) anvendes \(\kappa\, G\) med forskydningskorrektionsfaktoren \(\kappa\) (typisk \(\kappa = 5/6\)). Se Avancerede elementformuleringer for den konkrete formulering for hvert element. Specifikationen i funktionsafsnittet 03_material om, at "skalelementer kun understøtter lineær elasticitet", bygger på denne forenkling, hvor tilstanden i planet behandles som plan spænding.

Temperaturafhængighed

Youngs modul \(E\), Poissons tal \(\nu\) og den lineære varmeudvidelseskoefficient \(\alpha\) angives generelt som funktioner af temperaturen \(T\). I FrontISTR indtastes værdier for en endelig række temperaturpunkter \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), og temperaturen \(T\) under beregningen evalueres ved lineær interpolation mellem nabopunkter. For temperaturer uden for området (\(T < T_1\) eller \(T > T_n\)) anvendes værdien ved det nærmeste endepunkt, \(T_1\) eller \(T_n\), som ekstrapolation (konstant ekstrapolation).

Se Termiske egenskaber for temperaturafhængigheden af termiske og varmeledende egenskaber (densitet, specifik varmekapacitet og varmeledningsevne). De samme interpolationsregler gælder for disse egenskaber.

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status