Gå til indholdet

Lineær elastisk statisk analyse (introduktion)

Her præsenteres formuleringen af elastisk statisk analyse baseret på teorien for infinitesimale deformationer. Der antages lineær elasticitet for spændings-tøjningsrelationen. Dette kapitel er tænkt som en introduktion til den overordnede opbygning af strukturanalyse med den endelige elementmetode og er udformet som et selvstændigt kapitel.

Se Princippet om virtuelt arbejde for den generelle teori om virtuelt arbejde (formulering i aktuel konfiguration, initialkonfiguration og reduktion til infinitesimale deformationer), Lineær elasticitet for detaljer om den lineærelastiske konstitutive lov, Tensornotation og matematisk grundlag for konventioner for tensor- og Voigt-notation, Bevægelse, deformation og tøjning for den generelle formulering af endelige deformationer og Tangentstivhedsmatrix for løsningsmetoder til ikke-lineære problemer.

Grundligninger

Under antagelserne om infinitesimal deformation og lineær elasticitet består randværdiproblemet i faststofmekanik af ligevægtsligningen, mekaniske randbetingelser og geometriske randbetingelser (essentielle randbetingelser) (se figur 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{i} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{på} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Her er \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spændingen, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) volumenkræften pr. volumenenhed, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) den foreskrevne overfladetraktion, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) den foreskrevne forskydning, og \(S_t, S_u\) er henholdsvis den mekaniske og geometriske rand.

Randværdiproblem i faststofmekanik (problem med infinitesimal deformation)

Figur 2.1.1 Randværdiproblem i faststofmekanik (problem med infinitesimal deformation)

Tøjnings-forskydningsrelationen skrives ved hjælp af den symmetriske gradientoperator som

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Den lineærelastiske konstitutive ligning er

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

hvor \(\boldsymbol{C}\) er elasticitetstensoren af fjerde orden.

Princippet om virtuelt arbejde

De generelle former for princippet om virtuelt arbejde (formulering i aktuel konfiguration, initialkonfiguration og reduktion til infinitesimale deformationer) er samlet i Princippet om virtuelt arbejde. Under antagelserne om infinitesimal deformation og lineær elasticitet er den svage form

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Ved at indsætte den konstitutive ligning \eqref{eq:2.1.5} og skrive \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) i Voigt-notation fås den form, der anvendes direkte til diskretisering:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

hvor \(D\) er elasticitetsmatricen defineret i Lineær elasticitet. Ligningerne \eqref{eq:2.1.10} og \eqref{eq:2.1.7} udgør det princip om virtuelt arbejde, som diskretiseres nedenfor.

Diskretisering og samling af den globale ligning

Ved at diskretisere princippet om virtuelt arbejde i ligning\( \eqref{eq:2.1.10} \) over de endelige elementer fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

For hvert element interpoleres forskydningsfeltet ved hjælp af forskydningerne for de knuder, der udgør elementet, som følger.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Tøjningen gives da ved hjælp af ligning\(\eqref{eq:2.1.4}\) som følger.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Ved at indsætte ligningerne \(\eqref{eq:2.1.12}\) og \(\eqref{eq:2.1.13}\) i ligning \(\eqref{eq:2.1.11}\) fås følgende.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Ligning \(\eqref{eq:2.1.14}\) kan samles på følgende form.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Her kan komponenterne i matricen og vektoren, der er defineret ved ligningerne \(\eqref{eq:2.1.16}\) og \(\eqref{eq:2.1.17}\), beregnes for hvert endeligt element og samles ved superposition.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Da ligning \(\eqref{eq:2.1.15}\) gælder for en vilkårlig virtuel forskydning \(\delta \boldsymbol{U}\), fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Forskydningsrandbetingelsen i ligning \(\eqref{eq:2.1.3}\) udtrykkes på den anden side som følger.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Ved at løse ligning \(\eqref{eq:2.1.18}\) under begrænsningsbetingelsen i ligning \(\eqref{eq:2.1.19}\) kan knudeforskydningen \(\boldsymbol{U}\) bestemmes.

Relaterede emner

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status