Ikke-lineær iteration og tidsintegration¶

FrontISTR fører løsningen frem ved at kombinere ikke-lineære iterationer og tidsintegration ved hvert deltrin inden for inkrementstyringen for hvert trin. Denne side beskriver de iterative strukturer mellem den ydre trinstyring og den indre lineære løser: Newton-Raphson-iterationer, kontaktiterationer, tidsintegration for dynamisk analyse samt rammen for tidsfremføring og ikke-lineær iteration i transient varmeledning.

Oversigt¶

Ikke-lineær løsning og tidsintegration inden for et trin har en indlejret struktur med flere løkker fra yderst til inderst. Hvert lag har følgende rolle.

Hvilke af disse lag der optræder, afhænger af analysetypen.

Se Kontakt og indlejring for valg af selve kontakttypen og algoritmen. Denne side beskriver, hvordan den valgte algoritme organiseres som en iterativ løkke.

Valg af løsningsskema¶

Iterationsstrukturen bestemmes automatisk ud fra den valgte analysetype (Analysetyper), om der forekommer ikke-linearitet (geometrisk ikke-linearitet, materialeikke-linearitet eller kontakt), og kontaktalgoritmen (SLAGRANGE eller ALAGRANGE). Brugeren justerer direkte de øvre grænser for iterationsantal og konvergenskriterierne.

Følgende retningslinjer gælder ved justering af disse indstillinger.

• Ved standardanalyser er standardgrænsen for antal iterationer normalt tilstrækkelig. Hvis et vanskeligt konvergerende problem når det maksimale iterationsantal uden at konvergere, skal cutback (Trinstyring) først anvendes; øg kun den øvre grænse, hvis dette ikke forbedrer konvergensen.
• Juster konvergenskriterierne for at afveje analysestabilitet og beregningstid. Strammere kriterier forbedrer ligevægtsnøjagtigheden, men øger iterationsantallet. I kontaktanalyser og analyser med Lagrange-multiplikatorer kan stabiliteten forbedres ved at kombinere forskydningsinkrement- eller Lagrange-kriterier med residualkriteriet.
• For tidsintegrationsparametrene i dynamisk analyse (Newmark-β-koefficienterne) bør man begynde med en standardkombination af værdier og justere dem, når den numeriske dæmpningskarakteristik for vibrationsresponsen skal ændres.
• For tidsintegrationsskemaet i transient varmeledning anvendes Crank-Nicolson til problemer med jævne temperaturændringer og baglæns Euler, når skarpe ændringer eller langtidsstabilitet er vigtigere.

Newton-Raphson-iteration i statisk analyse¶

I ikke-lineær statisk analyse løses ligevægtsligninger med geometrisk eller materialemæssig ikke-linearitet iterativt med Newton-Raphson-metoden. Hver iteration forløber som følger.

1. Evaluer residualvektoren \(\boldsymbol{R}\) ved den aktuelle løsning.
2. Saml tangentstivhedsmatricen \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Løs det lineære system \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) for at bestemme forskydningskorrektionen \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Opdater løsningen som \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Sammenlign med konvergenskriterierne. Hvis der er opnået konvergens, afsluttes iterationen; ellers vendes tilbage til trin 1.

Den lineære løser udfører løsningen af det lineære ligningssystem (trin 3). Se Løser og præconditionering for valg af løser og præconditioner.

Iterationen styres med trinstyringsparametrene i !STEP. De vigtigste styringsværdier er følgende.

Det maksimale antal Newton-iterationer, der refereres af beslutningerne om automatiske inkrementer og cutback i Trinstyring, er antallet af Newton-iterationer beskrevet på denne side. Automatisk inkrementstyring øger tidsinkrementet efter et deltrin, der konvergerede med få iterationer, og reducerer det efter et deltrin, der krævede mange iterationer.

Kontaktiteration i statisk analyse¶

I kontaktanalyse ændres kontakttilstanden under iteration på grund af kontakt, adskillelse og glidning på kontaktfladerne, så Newton-iteration kombineres med opdateringer af kontakttilstanden. Strukturen afhænger af kontaktløsningsalgoritmen.

Begge algoritmer placerer en søgningsløkke for kontakttilstand yderst. Ved hver gennemgang af denne løkke revurderes kontakttilstanden (kontakt/adskillelse), efter at den indre Newton-iteration er konvergeret. Hvis tilstanden er ændret, opdateres stivhedsmatricens struktur, og den indre iteration køres igen. Løkken afsluttes, når kontakttilstanden er uændret fra den foregående gennemgang, og kontaktens konvergenskriterier (kontaktkraft- og Lagrange-multiplikatorkriterier) er opfyldt. Den øvre grænse for antal gennemgange angives med MAXCONTITER i !STEP.

Ved SLAGRANGE-kontakt indarbejdes kontaktfrihedsgraderne i det lineære system med den almindelige Lagrange-multiplikatormetode. Dermed fås en tolagsstruktur, hvor Newton-iterationen ligger direkte inden i søgningsløkken for kontakttilstand. Der indgår ingen augmenteret Lagrange-iteration.

Ved ALAGRANGE-kontakt tilføjes en augmenteret Lagrange-iteration inden i søgningsløkken for kontakttilstand, og Newton-iterationen udføres inden i denne, så der opstår en trelagsstruktur. Ved hver augmenteret Lagrange-iteration revurderes kontaktbetingelsen ved hjælp af en kombination af straffeleddet og Lagrange-multiplikatoren, så betingelsesnøjagtigheden gradvist forbedres. Den øvre grænse for antal augmenterede Lagrange-iterationer angives med AUGITER i !CONTACT_ALGO.

Styringsværdierne for kontaktiteration er følgende.

Det kontaktiterationsantal, som refereres ved beslutninger om automatisk inkrement i Trinstyring, er antallet af iterationer beskrevet på denne side, inklusive opdateringer af kontakttilstanden. Analyser, hvor kontakt og adskillelse forekommer ofte, har tendens til at kræve flere kontaktiterationer, hvilket også påvirker beslutninger om automatiske inkrementer og cutback. Se Kontakt og indlejring for selve kontakttyperne, pardefinitionerne og algoritmevalget. Se Løser og præconditionering for løsning af det lineære system med kontaktfrihedsgrader.

Tidsintegration i dynamisk analyse (implicit metode)¶

Den implicitte metode til dynamisk analyse anvender Newmark-β-metoden til at relatere forskydning, hastighed og acceleration ved det næste tidspunkt for hvert tidssteg og kombinerer disse relationer med bevægelsesligningen for at bestemme tilstanden ved tiden \(t + \Delta t\). Stabilitetsbegrænsningen på tidssteget \(\Delta t\) er mild, hvilket gør det muligt effektivt at løse strukturelle responser domineret af lavfrekvente komponenter.

Følgende to tidsintegrationsparametre anvendes.

Kombinationen \(\beta = 1/4\) og \(\gamma = 1/2\) kaldes middelaccelerationsmetoden og er et standardvalg, som er ubetinget stabilt og ikke har numerisk dæmpning. Vælg \(\gamma\) større end \(1/2\) for at indføre numerisk dæmpning. Se teorimanualen for matematiske detaljer om parameterkombinationer, stabilitet og fejlkarakteristik.

Når ikke-linearitet (geometrisk ikke-linearitet, materialeikke-linearitet eller kontakt) indgår, udføres Newton-iteration inden for hvert tidssteg; det lineære system løses under iterationen, og tilstanden opdateres. Konvergenskriterierne bruger CONVERG og relaterede værdier, der deles med statisk analyse. Ved dynamisk analyse med kontakt indarbejdes den samme iterative struktur som i Kontaktiteration i statisk analyse i hvert tidssteg.

Tidssteget i dynamisk analyse styres primært af tidsbetingelserne i !STEP. Ved faste inkrementer angiver !STEP DTIME som tidssteg og ETIME som trinets varighed. Værdierne n_step og t_delta i !DYNAMIC behandles som standardværdier, når !STEP er udeladt, og af hensyn til bagudkompatibilitet. I den ikke-lineære implicitte metode aktiverer !STEP med INC_TYPE=AUTO automatiske inkrementer og cutback, så tidssteget øges eller mindskes i henhold til tilstanden for Newton- og kontaktiterationerne. Uanset om der anvendes faste eller automatiske inkrementer, skal tidssteget fastsættes under hensyntagen til både konvergens og den krævede nøjagtighed.

Tidsintegration i dynamisk analyse (eksplicit metode)¶

Den eksplicitte metode til dynamisk analyse anvender centraldifferensmetoden til at beregne tilstanden ved det næste tidspunkt direkte ud fra oplysningerne om forskydning, hastighed og acceleration ved det foregående tidspunkt. Da der ikke løses samtidige ligninger, er beregningsomkostningen pr. trin lav. Selv når ikke-linearitet indgår, er hvert tidssteg en enkelttrinsopdatering uden Newton-iteration.

Tidssteget har en øvre grænse pålagt af en stabilitetsbetingelse baseret på systemets mindste egenperiode (CFL-betingelsen). Et tidssteg over denne grænse får den numeriske løsning til at divergere, så store tidssteg som ved den implicitte metode ikke kan anvendes. Den eksplicitte metode er fordelagtig til fænomener som slag, bølgeudbredelse og højhastighedskontakt, hvor små tidssteg i sig selv er nødvendige.

Når kontakt indgår, anvendes Forward Increment Lagrange-metoden til at håndhæve kontaktbetingelserne. Kontaktkræfter evalueres på en måde, der er konsistent med den eksplicitte metodes enkelttrinsopdatering.

Løsningsmetode for frekvensresponsanalyse¶

Frekvensresponsanalyse bestemmer direkte den periodiske stationære respons i frekvensdomænet ved hjælp af modal superposition. Responsen evalueres, mens excitationsfrekvensen varieres, og det er ikke nødvendigt at følge en tidshistorik gennem iterationer. Der udføres hverken ikke-lineære iterationer eller tidsintegration.

Før frekvensresponsanalyse kan udføres, skal der udføres modalanalyse for det samme system, og det nødvendige antal naturlige moder skal udtrækkes. Kun lineære modeller understøttes; analysen kan ikke udføres, når geometrisk eller materialemæssig ikke-linearitet er aktiveret. Se Analysetyper for denne analysetypes placering.

Tidsfremføring og ikke-lineær iteration i transient varmeledning¶

Transient varmeledning har sin egen tidsløkke, som afsluttes inden for !HEAT. Tidssteget styres gennem en anden sti end strukturanalysens !STEP og !AUTOINC_PARAM, og når materialeegenskaberne afhænger af temperaturen, udføres ikke-lineær iteration inden for hvert tidssteg.

Tidsintegrationsskemaet vælges med parameteren \(\beta\) i !HEAT.

Tidssteget styres adaptivt ved at kombinere det indledende tidssteg, det mindste tidssteg og den maksimale temperaturændring pr. trin. Hvis temperaturændringen overstiger DELTMX efter beregningen ved et tidssteg, reduceres tidssteget, og trinet beregnes igen. Analysen afbrydes, hvis tidssteget falder under det mindste tidssteg DTMIN.

Når materialeegenskaberne afhænger af temperaturen, udføres ikke-lineær iteration inden for hvert tidssteg. Iterationen styres som følger.

Stationær varmeledning anvender ikke tidssteg; kun ikke-lineær iteration udføres, når materialeegenskaberne afhænger af temperaturen. Da tidsstyringen for varmeledningsanalyse er uafhængig af strukturanalysens !STEP, skal indstillingerne i !HEAT kontrolleres ved justering af tidssteget.

Relaterede emner¶

• Analysetyper — Placering af hver analysetype.
• Kontakt og indlejring — Valg af kontakttyper, pardefinitioner og løsningsalgoritmer.
• Løser og præconditionering — Løsning af de lineære samtidige ligninger, der kaldes inden for Newton-iteration.
• Trinstyring — Ydre trin-/deltrinsstyring og automatiske inkrementer/cutback.
• Newton-Raphson-metoden (teori) — Formulering af den iterative løsningsmetode.
• Konvergenskriterier (teori) — Matematiske definitioner af konvergensindikatorer.
• Dynamiske analysemetoder (teori) — Formulering af Newmark-β- og centraldifferensmetoderne.
• Transient varmeledningsanalyse (teori) — Formulering af tidsintegration for varmeledning.
• Kontaktanalyse (teori) — Formulering af Lagrange-multiplikatormetoden.
• Nøgleordsreference: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.